树状数组相关

前置细节

$lowbit(x)=x\&(-x)$ ，得到 $x$ 转二进制后，从右往左数第一个1与之前所有的0构成数
树状数组最终形成如上图结构
$t[i]$ 维护的是 $[i-lowbit(i)+1,i]$ 的信息
$i+lowbit(x)$ ，如 $4\rightarrow 8=100+100,6\rightarrow 8=110+10,7\rightarrow 8=111+1$
即到上层，包含当前区间的大区间
$i-lowbit(i)$ ，如 $6\rightarrow 4=110-10,5\rightarrow 2=101-1$
即到同一层的前一个，与当前区间无关的另一同等大小的区间
$t[i]$ 的信息是由 $a[i],t[i-1],t[i-(10) ],\cdots ,t[i-j](j<lowbit(i))$ 整合的
如维护区间最大值， $t[8]= max\ a[8],t[7],t[6],t[4]$
用于解决将值变小且该值为区间最大值，或将值变大且该值为区间最小值
区间和不受影响原因求区间和不用管区间中某一点具体是多少

维护区间和

单点修改

void update(int x,int k) {for(int i=x;i<=size;i=lowbit(i)) {tr[i]+=k;}}

区间修改

此时树状数组中维护的是差分数组
$add(l,r,k)\Rightarrow update(l,k),update(r,-k)$

单点查询

若维护的不是差分数组，直接输出 $t[x]$

若维护的是差分数组，则 $ans=a[x]+query(x)$ ， $a[x]$ 为初值

int query(int x){int res=0;for(int i=x;i>=0;i-=lowbit(i)){res+=t[i];}return res;
}

区间查询

若维护的不是差分数组 $query(x)$ 等于前缀和， $Sum(l,r)=query(r)-query(l-1)$
若维护的是差分数组，则 $Sum(l,r)=\sum_{i=l}^{r}a[x]+query(x)$

维护极值

以最大值为例

单点修改

void update(int x,int k) {tr[x]=k;for(int i=x;i<=size;i+=lowbit(i)) {//往上层接着更新int lw=lowbit(i);for(int j=1;j<lw;j<<=1) {tr[i]=Math.max(tr[i], tr[i-j]);//tr[8]=max tr[7],tr[6],tr[4],a[8]//7=8-1.6=8-(10),4=8-(100)}}}

区间查询

int query(int l,int r) {//tr[i]=max [i-lowbit(i)+1,i]//if l<=i-lowbit(i)+1 直接用tr[i]//否则，只能用a[i],剩下递归l,i-1if(l>r)return 0;else if(l==r)return a[l];else if(l<=r-lowbit(r)+1)//包含[l,r]=[r-lowbit(r)+1,r]=tr[r]return Math.max(query(l, r-lowbit(r)),tr[r]);else return Math.max(query(l, r-1), a[r]);}

例：Atcoder Beginner Contest 339 E

题目大意

给定一个长度为 $n$ 的序列a， $1\leq a_i\leq 5*1e5$
找到a的最长子序列，使得子序列中相邻两值的绝对差不超过 $D$

解题思路

定义 $f[i]$ 表示以 $i$ 点为起点的最长子序列长度
从 $n-1$ 号开始处理到 $0$ 号， $f[i]=(Max_{j=i+1}^{n-1} f[j])+1\&\&Math.abs(a[i]-a[j])<=D$
直接暴力 $O(n^2)$ 过不去
考虑用树状数组维护区间最值
将 $0\rightarrow 5*1e5$ 看作数组空间，查询区间即为 $[max (a[i]-D,0),min(a[i]+D,5*1e5)]$
$f[i]$ 定义为以值 $i$ 为起点的最长子序列长度
每处理完一个 $f[i]$ ，则添入树状数组中，保证处理当前第 $k$ 个点，只有 $k+1\rightarrow n-1$ 的结果在数组里

import java.io.*;
import java.math.BigInteger;
import java.util.Arrays;
import java.util.BitSet;
import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;
import java.util.Iterator;
import java.util.LinkedList;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Queue;
import java.util.StringTokenizer;
import java.util.Vector;public class Main{static int[] a;static int[] f;//对应长度staticclass BIT{int size;int[] tr;public BIT(int n) {size=n;tr=new int[n+1];}int lowbit(int x) {return x&(-x);}void update(int x,int k) {//可能将当前区间最大值对应的点的值改小tr[x]=f[x]=k;for(int i=x;i<=size;i+=lowbit(i)) {int lw=lowbit(i);for(int j=1;j<lw;j<<=1) {tr[i]=Math.max(tr[i], tr[i-j]);//tr[8]=max tr[7],tr[6],tr[4],a[8]//7=8-1.6=8-(10),4=8-(100)}}}int query(int l,int r) {//tr[i]=max [i-lowbit(i)+1,i]//if l<=i-lowbit(i)+1 直接用tr[i]//否则，只能用a[i],剩下递归l,r-1if(l>r)return 0;else if(l==r)return f[l];else if(l<=r-lowbit(r)+1)return Math.max(query(l, r-lowbit(r)),tr[r]);else return Math.max(query(l, r-1), f[r]);}}public static void main(String[] args) throws IOException{AReader input=new AReader();PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));int n=input.nextInt();int D=input.nextInt();a=new int[n+1];for(int i=0;i<n;++i) {a[i]=input.nextInt();}BIT T=new BIT(500010);f=new int[500010];f[a[n-1]]=1;T.update(a[n-1], 1);for(int i=n-2;i>=0;--i) {int l=a[i]-D<0?0:a[i]-D;int r=a[i]+D>500000?500000:a[i]+D;int t=T.query(l, r)+1;f[a[i]]=t;T.update(a[i], t);}int mx=T.query(0, 500001);out.print(mx);out.flush();out.close();}staticclass AReader{BufferedReader bf;StringTokenizer st;BufferedWriter bw;public AReader(){bf=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));st=new StringTokenizer("");bw=new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));}public String nextLine() throws IOException{return bf.readLine();}public String next() throws IOException{while(!st.hasMoreTokens()){st=new StringTokenizer(bf.readLine());}return st.nextToken();}public char nextChar() throws IOException{//确定下一个token只有一个字符的时候再用return next().charAt(0);}public int nextInt() throws IOException{return Integer.parseInt(next());}public long nextLong() throws IOException{return Long.parseLong(next());}public double nextDouble() throws IOException{return Double.parseDouble(next());}public float nextFloat() throws IOException{return Float.parseFloat(next());}public byte nextByte() throws IOException{return Byte.parseByte(next());}public short nextShort() throws IOException{return Short.parseShort(next());}public BigInteger nextBigInteger() throws IOException{return new BigInteger(next());}public void println() throws IOException {bw.newLine();}public void println(int[] arr) throws IOException{for (int value : arr) {bw.write(value + " ");}println();}public void println(int l, int r, int[] arr) throws IOException{for (int i = l; i <= r; i ++) {bw.write(arr[i] + " ");}println();}public void println(int a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));bw.newLine();}public void print(int a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));}public void println(String a) throws IOException{bw.write(a);bw.newLine();}public void print(String a) throws IOException{bw.write(a);}public void println(long a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));bw.newLine();}public void print(long a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));}public void println(double a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));bw.newLine();}public void print(double a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));}public void print(char a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));}public void println(char a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));bw.newLine();}}
}

感谢这位大佬的博文启发https://blog.csdn.net/TheWayForDream/article/details/118436732