[CSP-S 2022] 策略游戏

题目描述

小 L 和小 Q 在玩一个策略游戏。

有一个长度为 $n$ 的数组 $A$ 和一个长度为 $m$ 的数组 $B$，在此基础上定义一个大小为 $n\times m$ 的矩阵 $C$，满足 $C_{ij}=A_i\times B_j$。所有下标均从 $1$ 开始。

游戏一共会进行 $q$ 轮，在每一轮游戏中，会事先给出 $4$ 个参数 $l_1,r_1,l_2,r_2$，满足 $1\le l_1\le r_1\le n$、$1\le l_2\le r_2\le m$。

游戏中，小 L 先选择一个 $l_1\sim r_1$ 之间的下标 $x$，然后小 Q 选择一个 $l_2\sim r_2$ 之间的下标 $y$。定义这一轮游戏中二人的得分是 $C_{xy}$。

小 L 的目标是使得这个得分尽可能大，小 Q 的目标是使得这个得分尽可能小。同时两人都是足够聪明的玩家，每次都会采用最优的策略。

请问：按照二人的最优策略，每轮游戏的得分分别是多少？

输入格式

第一行输入三个正整数 $n,m,q$，分别表示数组 $A$，数组 $B$ 的长度和游戏轮数。

第二行：$n$ 个整数，表示 $A_i$，分别表示数组 $A$ 的元素。

第三行：$m$ 个整数，表示 $B_i$，分别表示数组 $B$ 的元素。

接下来 $q$ 行，每行四个正整数，表示这一次游戏的 $l_1,r_1,l_2,r_2$。

输出格式

输出共 $q$ 行，每行一个整数，分别表示每一轮游戏中，小 L 和小 Q 在最优策略下的得分。

样例 #1

样例输入 #1

3 2 2
0 1 -2
-3 4
1 3 1 2
2 3 2 2

样例输出 #1

0
4

样例 #2

样例输入 #2

6 4 5
3 -1 -2 1 2 0
1 2 -1 -3
1 6 1 4
1 5 1 4
1 4 1 2
2 6 3 4
2 5 2 3

样例输出 #2

0
-2
3
2
-1

提示

【样例解释 #1】

这组数据中，矩阵 $C$ 如下：

$$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ -3& 4\\ 6& -8\end{array}\right]$$

在第一轮游戏中，无论小 L 选取的是 $x=2$ 还是 $x=3$，小 Q 都有办法选择某个 $y$ 使得最终的得分为负数。因此小 L 选择 $x=1$ 是最优的，因为这样得分一定为 $0$。

而在第二轮游戏中，由于小 L 可以选 $x=2$，小 Q 只能选 $y=2$，如此得分为 $4$。

【样例 #3】

见附件中的 game/game3.in 与 game/game3.ans。

【样例 #4】

见附件中的 game/game4.in 与 game/game4.ans。

【数据范围】

对于所有数据，$1\le n,m,q\le {10}^5$，$-{10}^9\le A_i,B_i\le {10}^9$。对于每轮游戏而言，$1\le l_1\le r_1\le n$，$1\le l_2\le r_2\le m$。

测试点编号	$n,m,q\le$	特殊条件
$1$	$200$	1, 2
$2$	$200$	1
$3$	$200$	2
$4\sim 5$	$200$	无
$6$	$1000$	1, 2
$7\sim 8$	$1000$	1
$9\sim 10$	$1000$	2
$11\sim 12$	$1000$	无
$13$	${10}^5$	1, 2
$14\sim 15$	${10}^5$	1
$16\sim 17$	${10}^5$	2
$18\sim 20$	${10}^5$	无

其中，特殊性质 1 为：保证 $A_i,B_i>0$。
特殊性质 2 为：保证对于每轮游戏而言，要么 $l_1=r_1$，要么 $l_2=r_2$。

整体思路

概括题意：
在两个不同的区间里面选取两个数字，结果可以拆分为两个子问题：
1.让两个数的乘积最小（Q）
2.让两个数的乘积最大（L）
可以固定下来一个人选大的数还是小的数，让后让另一个人跟着他走一遍模拟。
这里我们选取暴力枚举L：
当L选取的数为正数的时候，q就要让他选择尽量小一点得数；
当L选的是负数的时候，Q便要选尽量大一些的数；
当L选取的数为0，那么便不用顾忌Q（反正最后的乘积都要为0）
分类讨论，依次处理即可。

ac代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ET return 0
#define fr1(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define fr2(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)>=(b);(i)--)
#define ll long long
#define mp make_pair
#define il inline
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define il inline
#define int ll
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,q;
int a[N],b[N];
int l1,r1,l2,r2;
#define mid ((l+r)>>1)
struct node{int maxf,minf,maxz,minz,cnt0;
};
struct Segment_Tree{int val[N<<2],minn[N<<2],maxn[N<<2],maxf[N<<2],minf[N<<2],maxz[N<<2],minz[N<<2],cnt0[N<<2];void pushup(int p){minn[p]=min(minn[p<<1],minn[p<<1|1]);maxn[p]=max(maxn[p<<1],maxn[p<<1|1]);maxf[p]=max(maxf[p<<1],maxf[p<<1|1]);minf[p]=min(minf[p<<1],minf[p<<1|1]);maxz[p]=max(maxz[p<<1],maxz[p<<1|1]);minz[p]=min(minz[p<<1],minz[p<<1|1]);cnt0[p]=cnt0[p<<1]+cnt0[p<<1|1];}void merge(node &ans,node d){ans.cnt0+=d.cnt0;ans.maxf=max(ans.maxf,d.maxf);ans.minf=min(ans.minf,d.minf);ans.maxz=max(ans.maxz,d.maxz);ans.minz=min(ans.minz,d.minz);}il void build(int p,int l,int r){maxf[p]=LONG_LONG_MIN;minf[p]=0;maxz[p]=0;cnt0[p]=0;minz[p]=LONG_LONG_MAX;if(l==r){minn[p]=maxn[p]=val[l];if(val[l]<0){maxf[p]=val[l];minf[p]=val[l];}else if(val[l]>0){maxz[p]=val[l];minz[p]=val[l];}else{cnt0[p]=1;}return;}build(p<<1,l,mid);build(p<<1|1,mid+1,r);pushup(p);}//建树 il pii query(int p,int l,int r,int ml,int mr){if(ml<=l&&r<=mr){return mp(minn[p],maxn[p]);}pii ans=mp(LONG_LONG_MAX,LONG_LONG_MIN);if(ml<=mid){pii d=query(p<<1,l,mid,ml,mr);ans.fi=min(ans.fi,d.fi);ans.se=max(ans.se,d.se);}if(mid<mr){pii d=query(p<<1|1,mid+1,r,ml,mr);ans.fi=min(ans.fi,d.fi);ans.se=max(ans.se,d.se);}return ans;}il node queryb(int p,int l,int r,int ml,int mr){if(ml<=l&&r<=mr){return {maxf[p],minf[p],maxz[p],minz[p],cnt0[p]};}node ans={LONG_LONG_MIN,0,0,LONG_LONG_MAX,0};if(ml<=mid){node d=queryb(p<<1,l,mid,ml,mr);merge(ans,d);}if(mid<mr){node d=queryb(p<<1|1,mid+1,r,ml,mr);merge(ans,d);}return ans;}
} T1,T2;//树形结构的基本操作 
#undef mid
void solve2(){while(q--){int ans=LONG_LONG_MIN; cin>>l1>>r1>>l2>>r2;node d=T1.queryb(1,1,n,l1,r1);int x=T2.query(1,1,m,l2,r2).fi;int y=T2.query(1,1,m,l2,r2).se;if(d.cnt0!=0){ans=0;}if(y>0&&d.minf!=0){ans=max(ans,y*d.maxf);}if(y<=0&&d.maxf!=LONG_LONG_MIN){ans=max(ans,y*d.minf);}if(x<=0&&d.minz!=LONG_LONG_MAX){ans=max(ans,x*d.minz);}if(x>0&&d.maxz!=0){ans=max(ans,x*d.maxz);}cout<<ans<<'\n';}
}//问题处理 
signed main(){ios::sync_with_stdio(false);cin>>n>>m>>q;fr1(i,1,n){cin>>a[i];T1.val[i]=a[i];}fr1(i,1,m){cin>>b[i];T2.val[i]=b[i];}T1.build(1,1,n);T2.build(1,1,m);solve2();ET;