机器人中的数值优化进阶|【三】三次样条曲线推导（下）

接之前的内容，现在开始考虑势场函数
$$P({\eta }_1,...,{\eta }_{n-1})=1000\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=0}^m\max (r_j-||{\eta }_i-o_j||,0)$$
势场函数的计算较为容易，主要关注梯度的推导与计算
$$||{\eta }_i-o_j||=(({\eta }_{i,0}-o_{j,0}{)}^2+({\eta }_{i,1}-o_{j,1}{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$
当$r_j-||{\eta }_i-o_j||<0$时，
$$\frac{\delta P}{\delta \eta }=-1000\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=0}^m(\frac{({\eta }_{i,0}-o_{j,0})\frac{\delta {\eta }_{i,0}}{\delta \eta }+({\eta }_{i,1}-o_{j,1})\frac{\delta {\eta }_{i,1}}{\delta \eta }}{||{\eta }_i-o_j||})$$
通过该式可以组装一个矩阵计算公式，得到梯度