[NOIP2013 提高组] 货车运输

题目背景

NOIP2013 提高组 D1T3

题目描述

A 国有 $n$ 座城市，编号从 $1$ 到 $n$，城市之间有 $m$ 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。

现在有 $q$ 辆货车在运输货物， 司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。

输入格式

第一行有两个用一个空格隔开的整数 $ n,m$，表示 A 国有 $ n$ 座城市和 $m$ 条道路。

接下来 $m$ 行每行三个整数 $x,y,z$，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从 $x $ 号城市到 $ y $ 号城市有一条限重为 $z$ 的道路。
注意： $x\ne y$，两座城市之间可能有多条道路 。

接下来一行有一个整数 $q$，表示有 $q$ 辆货车需要运货。

接下来 $q$ 行，每行两个整数 $x,y$，之间用一个空格隔开，表示一辆货车需要从 $x$ 城市运输货物到 $y$ 城市，保证 $x\ne y$

输出格式

共有 $q$ 行，每行一个整数，表示对于每一辆货车，它的最大载重是多少。
如果货车不能到达目的地，输出 $-1$。

样例 #1

样例输入 #1

4 3
1 2 4
2 3 3
3 1 1
3
1 3
1 4
1 3

样例输出 #1

3
-1
3

提示

对于 $30\%$ 的数据，$1\le n<1000$，$1\le m<10,000$，$1\le q<1000$；

对于 $60\%$ 的数据，$1\le n<1000$，$1\le m<5\times 10^4$，$1\le q<1000$；

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n<10^4$，$1\le m<5\times 10^4$，$1 \le q< 3\times 10^4 $，$0\le z\le 10^5$。

分析

使用启发式合并，每次先合并大边，从两点开始，不断合并，直到所有边合并为一个图，将答案输出

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e6;
int f[M],ans[M],n,m,qq;
struct edge{int st,ed,v;
}edges[M];
struct ask{int ed,id;ask(int e,int i):ed(e),id(i){}
};
vector<ask> q[M];
int find(int x){if(f[x]==x) return x;else return find(f[x]);
}
void merge(int x,int y,int val){int fx=find(x),fy=find(y);if(fx==fy) return;if(q[fx].size()>q[fy].size()) swap(fx,fy);f[fx]=fy;for(auto v:q[fx]){int t=v.ed,id=v.id;if(ans[id]!=-1) continue;int ft=find(t);if(ft==fy) ans[id]=val;}for(auto v:q[fx]) q[fy].push_back(v);
}int main(){cin>>n>>m;memset(ans,-1,sizeof(ans));for(int i=1;i<=m;i++){int st,ed,v;cin>>st>>ed>>v;auto &e=edges[i];e.st=st,e.ed=ed,e.v=v;}sort(edges+1,edges+1+m,[](edge a,edge b){return a.v>b.v;});cin>>qq;for(int i=1;i<=qq;i++){int x,y;cin>>x>>y;q[x].push_back(ask(y,i));q[y].push_back(ask(x,i));}for(int i=1;i<=n;++i) f[i]=i;for(int i=1;i<=m;i++){auto e=edges[i];merge(e.st,e.ed,e.v);}for(int i=1;i<=qq;i++) cout<<ans[i]<<'\n';return 0;
}

解析

笔者只谈，merge 函数的作用：

合并集合：函数接受两个参数 x 和 y，它们是要合并的两个节点的编号。函数首先找到这两个节点各自所属的集合的根节点（代表元素），这是通过调用 find 函数来完成的。如果两个根节点相同，说明 x 和 y 已经在同一个集合中，无需合并；否则，将较小的集合合并到较大的集合中，这是通过修改根节点的父指针来实现的（f[fx] = fy）。这是每个并查集必要的

处理查询：在合并集合的同时，函数还检查是否存在与合并操作相关的查询可以被回答。这是通过遍历被合并集合（这里是 fx 对应的集合）中的所有查询来完成的。对于每个查询，检查其终点（ed）是否也在合并后的集合中（即根节点为 fy 的集合中）。如果是，说明找到了连接查询起点和终点的路径，且该路径上的最大边权值不会小于当前合并的边权值，因此可以安全地将查询的答案更新为当前边的权值（val）。