负数和分数
“探索减法和除法：从具体操作到方程求解的数学思维”
谁如果给小孩子教过数学，那一定会知道，减法和除法并不像加法和乘法那样直接，他们学习起来更困难一些。为了解释减法，我们当然可以利用“拿走”的概念，提这一类的问题：“一开始有5个橘子，吃掉2个，还剩下几个？”然而这并不总是思考减法的最佳方式。例如，当我们用100减98时，更好的想法不是从100中取走98，而是考虑什么数加上98能够得到100。也就是说，更有效的做法是求解方程98+ x x x=100，尽管计算时字母 x x x并不常出现在我们的脑子里。类似地，考虑除法也有两种方式。为了解释50 除以10的意义，我们既可以问“50个东西分成相等的10组，每组几个”，也可以问“10个东西分一组，50个东西能分几组”。第二种办法等于在问“10和几相乘能够得到50”，也就等于解方程10 x x x=50。
“挑战与抽象：解释减法和除法中的负数和分数概念”
向小孩解释减法和除法还有着更进一步的困难，那就是这两种计算并非总能够进行。例如，不可能从装有7个橘子的碗中拿走10个，11颗弹珠不可能平均分给3个小孩。但成人却能够计算7减去10和11除以3，分别得到-3和11/3。问题随之而来：一3和11/3这样的数实际上存在吗？如果存在它们又是什么呢？
“抽象数系的拓展：解释负数和分数作为数学运算的工具”
从抽象的角度看，处理这个问题的方式类似于之前对于零的处理方式：全都抛至脑后。关于-3，我们只需要知道它和3相加等于0即可；关于11/3，只需知道它乘以3等于11即可。这就是它们的运算规则。再与之前的规则相结合，我们就可以在更大的数系中进行算术运算。为什么我们希望照这样扩充数系呢？原因就是，这样得到的模型允许我们在其中求解x+a=b和 a x ax ax=b 这样的方程，无论a和b取何值——只要a在第二个方程中不为0。换句话说，这样得到的模型中，减法和除法总是能够进行的，只要除数不为0。（除数0的问题我们会在文章后面谈到。）
“拓展数系的规则：引入负数和分数的逆元与消去法则”
按照这样的路数，我们只需再增加两条规则来扩充我们的数系：一条给我们带来负数，另一条给我们带来分数，即我们所熟知的有理数。
A4 加法逆元：对任意数a，总存在一个数b使得a+b=0。
M4 乘法逆元：对任意不为0的数a，总存在一个数c使得ac=1。
确定了这些规则后，我们就可以将 -a和1/a分别看作A4中的b、M4中的c的代号。至于更一般的表达式p/q，它表示p乘以1/q。
规则A4和M4还蕴含了另外两条规则，即消去法则。
A5 加法消去律：对任意三个数a、b和c，若a+b=a+c，则b=c。
M5 乘法消去律：对任意三个数a、b和c，若ab=ac且a不为0,则b=c。
“使用新规则证明分数加法的合理性：寻找公分母和对分子的运算”
第一条可以通过在等式两端加上-a得到证明，第二条可以通过在等式两端乘以1/a得到证明。应当注意A5和M5的地位与之前的那些规则是不同的一一这两条是之前规则的推论，而不是我们向游戏中引入的新规则。
如果有人要加两个分数，如2/5加3/7，那么常用的方法是找出它们的公分母：
2 5 + 3 7 = 14 35 + 15 35 = 29 35 \frac{2}{5}+\frac{3}{7}=\frac{14}{35}+\frac{15}{35}=\frac{29}{35} 52+73=3514+3515=3529
这种方法及类似方法的合理性可以用我们的新规则来证明。
例如：
35 ∗ 14 35 = 35 ∗ { 14 ∗ 35 } ∗ 1 35 35*\frac{14}{35}=35*\{14*35\}*\frac{1}{35} 35∗3514=35∗{14∗35}∗351 = 14 ∗ { 35 ∗ 1 35 } = 14 ∗ 1 = 14 =14*\{35*\frac{1}{35}\}=14*1=14 =14∗{35∗351}=14∗1=14
又有
35 ∗ 2 5 = ( 5 ∗ 7 ) ∗ ( 2 ∗ 1 5 ) = ( 7 ∗ 5 ) ∗ { 1 5 ∗ 2 } 35*\frac{2}{5}=(5*7)*(2*\frac{1}{5})=(7*5)*\{\frac{1}{5}*2\} 35∗52=(5∗7)∗(2∗51)=(7∗5)∗{51∗2} = { 7 ∗ { 5 ∗ 1 5 } } ∗ 2 = ( 7 ∗ 1 ) ∗ 2 = 7 ∗ 2 = 14 =\{7*\{5*\frac{1}{5}\}\}*2=(7*1)*2=7*2=14 ={7∗{5∗51}}∗2=(7∗1)∗2=7∗2=14
于是，由规则M5得到2/5和14/35是相等的，正如我们在计算中所假设的那样。
类似地，我们还可以论证关于负数的一些熟悉的事实。请大家自己练习从上述规则中推出 ( − 1 ) ∗ ( − 1 ) = 1 (-1)*(-1)=1 (−1)∗(−1)=1，它的推导和对 0 ∗ 0 = 0 0*0=0 0∗0=0的证明相当类似。
“负数的实在性与数学模型的应用范围：解析人们对负数认知的差异”
为什么在很多人看来，负数的实在性要低于正数呢？大概因为对数量不多的物体的计数是人类的基本活动，在这其中并不会用到负数。但这只不过意味着，作模型的自然数系在某种特定场合下比较有用，而扩充数系则不太用得上。但如果我们考虑温度、日期或者银行账户，那负数就的确能够发挥作用了。只要扩充数系是逻辑自洽的——实际上也正是如此，用它作为模型就没有任何害处。
把自然数系称作一种模型似乎有点奇怪。难道我们不是在切实地数数，未涉及任何特定的理想化描述吗？我们的确是那样数数的，但数数的过程并非总是恰当的，甚至会根本不可能。从数学的观点来看，1 394 840 275 936 498 649 234 987这个数没有任何问题，但如果我们连佛罗里达州的选票都数不过来，就无法想象能确信自己拥有由1 394 840 275 936 498 649 234 987个东西组成的一堆。如果你将两堆落叶加到第三堆上，得到的结果并不是三堆树叶，而是一大堆树叶。倘若你刚观察过一场暴雨，那正如维特根斯坦所说，“‘你看到了多少水滴’这个问题的恰当答案是，很多。并不是因为没有那么一个数字，而是因为你根本不知道有多少”。
总结
在数学中，减法和除法相对于加法和乘法更具挑战性。然而，通过引入抽象的数学模型，我们可以更好地理解和解释减法和除法的概念。减法可以通过解方程的方式来理解，即找出与给定数相加得到零的数。类似地，除法可以通过解方程的方式来理解，即找出与给定数相乘得到另一个给定数的数。然而，向孩子们解释减法和除法的困难之一是它们并不总是可行的操作，例如从较小的数中减去较大的数，或将一定数量的物品平均分给不等数量的人。为了解决这个问题，我们引入了负数和分数这两个概念，将它们视为数学运算的工具。负数和分数的引入扩展了数系，并引入了新的规则，如加法逆元和乘法逆元。通过这些规则和之前的规则的结合，我们可以在更大的数系中进行算术运算，并解决各种方程。负数和分数的实在性可能在人们的认知中低于正数，这是因为负数在日常生活中的计数活动中并不常见。然而，在涉及温度、日期、银行账户等方面，负数和分数是非常有用的。只要扩充数系是逻辑自洽的，将自然数系视为一种模型就是合理的，因为在实际的计数过程中，并不总是准确的或可能的。因此，扩充数系作为数学模型没有任何害处，反而可以提供更广泛的应用和解决更复杂的问题的能力。
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