详解 Prim 算法的实现

一、算法思路

Prim 算法是用来求最小生成树的,它的思想也有点类似于贪心——逐个将离当前集合最近的点加入到集合中,直至发现图不连通或所有点都被加到集合中,算法即宣告终止。它的具体做法是:

  • step 1:初始时,由当前最小生成树中的点构成的集合 S S S 为空,图中剩余的点到集合的距离皆为 + ∞ +\infty +,这一步可以用代码实现如下:

    // 假定图中共有N个点
    bool st[N]; // 用bool数组st来模拟集合S,若一个点i被加入集合,// 则将st[i]置为true
    int dist[N]; // 用dist数组来记录所有点到当前集合的最短距离,
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 初始时,将所有点到集合的最短// 距离置为正无穷
    
  • step 2:接下来是 n 轮循环,每轮循环的任务是找到当前离集合最近的点并将其加入集合(即合并到当前的最小生成树上),同时,用这个点更新其他点到集合的距离(当这个点加入集合后,其他点到集合的最短距离有可能发生改变,因为此时这个新加入的点也是集合的一部分了,所以要用这个点到其他点的距离来更新其他点到集合的最短距离),这一步的代码可以实现如下:

    // n是图中所有点的个数
    for (int i = 0; i < n; i++) // n轮循环,每轮循环负责将一个点加入集合中
    {// 首先要找到我们要加入的点是谁int t = -1; // 先用-1来暂时表示这个点,并用t来记录// 执行具体的寻找过程:从1~n这n个点中将当前这一轮的t找出来for (int j = 1; j <= n; j++) // 从1到n循环n个点,看哪个点符合要求if (!st[t] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) // 如果这个点尚未在集合中,并且// 要么找到了第一个不在集合中的点,// 要么找到了离集合最短距离更小的点t = j; // 就更新t的取值// 当我们找到t以后,我们需要将t加入到集合中,st[t] = true;// 并用t到其他点的距离更新其他点到集合的最短距离for (int j = 1; j <= n; j++)dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }
    
  • step 3:如何返回最终的结果呢?我们要找的是我们要返回的是最小生成树的树边权重之和(以下简记为“最小生成树的长度”),而这个长度是由一条条边加起来得到的。注意到,每次往集合中新加入一个点,就相当于当前最小生成树又多了一条边,而这条边就是我们要找的众多边之一。因此,只需要在每次新加入一条边的时候,把新加入的边的长度累加到最终的结果中去即可(这个长度即为新加入的点到集合的最短距离,即为 dist[t])。
    然而如果图中根本就不存在最小生成树怎么办呢?如果在中途就发现了图中必然不可能存在最小生成树,那能不能提前停止并返回结果呢?如果可以,当如何实现呢?
    答案是我们可以在加入每个点之前先做一个判断:如果新加入的点到集合的最短距离是 + ∞ +\infty + ,这就意味着新加入的点跟集合中的点根本就不连通,此时图中必不可能存在最小生成树,而一旦我们发现了这样一种情况,就可以提前退出循环,并将当前结果报告出去,其实现代码如下:

    // 用res来记录最终最小生成树的长度
    int res = 0; // 初始时res为0
    for (int i = 0; i < n; i++) // 最外层的n轮循环,每轮找到一个点并加入当前集合中
    {int t = -1;for (int j = 1; j <= n; j++)if (!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))t = j;// 找到t以后,这个t不一定是与当前集合连通的,所以可以提前做一个判断:if (i && dist[t] == INF) return INF; // 如果当前点到集合的最短距离为正无穷,则返回正无穷(最终可根据返回结果是否为正无穷来判断图中是否存在最小生成树)// 如果上一步没有提前返回,则说明当前点与集合是连通的,那么它与集合之间将会连起一条新的边,这个边是最终最小生成树的一部分,要将它累加至最后的结果中:if (i) res += dist[t];// 注意以上两步中都有一个if(i),这个判断的目的是:i=0表示第一轮循环(即将第一个点加入最小生成树),由于第一个点到初始空集合S的距离为正无穷,所以这个点不能作为“不存在最小生成树”的判断,这个点到集合的距离也不能累加至最终的结果中,因此正确的做法是跳过这个点,即加一个if(i)的判断...// 最终返回res即可return res;
    }
    

二、Prim 算法求最小生成树的完整代码如下:

#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;const int N = 510, M = 2e5 + 10; // 边数设为初始值的两倍,是因为无向图要加两条有向边
const int INF = 0x3f3f3f3f;int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];int prim()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 初始时,设置所有点到集合的最短距离都为正无穷int res = 0; // 用res记录最终最小生成树的长度for (int i = 0; i < n; i++) // 然后开始n轮循环,每轮将一个点加入当前集合中{int t = -1; // 将当轮要加入的点初始化为-1for (int j = 1; j <= n; j++) // 然后从1~n这n个点中找到当前这一轮要加入的点if (!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))t = j;// 找到以后,先做判断,看图会不会不连通if (i && dist[t] == INF) return INF;// 如果确认当前这一轮还未发现图是不是不连通的,就先将当前边累加至最终结果if (i) res += dist[t];// 关键一步:用t到它所有邻居的距离更新它的所有邻居到当前集合的最短距离for (int j = 1; j <= n; j++) // 遍历并找到t的所有邻居dist[j] = min(dist[j], g[t][j]); // 更新邻居到当前集合的距离// 最后,将当前这个点t加入到当前集合中st[t] = true;}return res; // 返回图中最小生成树的长度
}int main()
{cin >> n >> m;memset(g, 0x3f, sizeof g); // 初始时,设置所有边权都为正无穷// 这一步是不可省略的,因为有些点之间根本就没有连接,其距离为正无穷,// 如果不进行这一步设置,这些不连通的点之间的边将被默认初始化为0,// 这显然是不对的while (m--){int a, b, w;scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], w);}int res = prim();if (res == INF) puts("impossible");else cout << res << endl;return 0;
}

【注】以上内容参考AcWing。

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