差分矩阵
- 1.题目
- 2.基本思想
- 3.代码实现
1.题目
输入一个 n n n 行 m m m列的整数矩阵,再输入 q q q 个操作,每个操作包含五个整数 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , c x1,y1,x2,y2,c x1,y1,x2,y2,c,其中 ( x 1 , y 1 ) (x1,y1) (x1,y1) 和 ( x 2 , y 2 ) (x2,y2) (x2,y2)表示一个子矩阵的左上角坐
标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c c c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含两个整数 n n n 和 m m m。
第二行包含 n n n 个整数,表示整数序列。
接下来 m m m 行,每行包含三个整数 l , r , c l,r,c l,r,c,表示一个操作。
输出格式
共 n 行,每行 m个整数,表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1 ≤ n , m ≤ 1000 , 1≤n,m≤1000, 1≤n,m≤1000,
1 ≤ q ≤ 100000 , 1≤q≤100000, 1≤q≤100000,
1 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ n , 1≤x1≤x2≤n, 1≤x1≤x2≤n,
1 ≤ y 1 ≤ y 2 ≤ m , 1≤y1≤y2≤m, 1≤y1≤y2≤m,
− 1000 ≤ c ≤ 1000 , −1000≤c≤1000, −1000≤c≤1000,
− 1000 ≤ 矩阵内元素的值 ≤ 1000 −1000≤矩阵内元素的值≤1000 −1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例:
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例:
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
2.基本思想
前缀和的逆运算
如果扩展到二维,我们需要让二维数组被选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c c c,是否也可以达到 O ( 1 ) O(1) O(1)的时间复杂度。答案是可以的,考虑二维差分。
a [ ] [ ] a[][] a[][]数组是 b [ ] [ ] b[][] b[][]数组的前缀和数组,那么 b [ ] [ ] b[][] b[][]是 a [ ] [ ] a[][] a[][]的差分数组
原数组: a [ i ] [ j ] a[i][j] a[i][j]
我们去构造差分数组: b [ i ] [ j ] b[i][j] b[i][j]
使得 a a a数组中 a [ i ] [ j ] a[i][j] a[i][j]是 b b b数组左上角 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)到右下角 ( i , j ) (i,j) (i,j)所包围矩形元素的和。
如何构造 b b b数组呢?
我们去逆向思考。
同一维差分,我们构造二维差分数组目的是为了 让原二维数组 a a a中所选中子矩阵中的每一个元素加上 c c c的操作,可以由 O ( n ∗ n ) O(n*n) O(n∗n)的时间复杂度优化成 O ( 1 ) O(1) O(1)
已知原数组 a a a中被选中的子矩阵为 以 ( x 1 , y 1 ) (x1,y1) (x1,y1)为左上角,以 ( x 2 , y 2 ) (x2,y2) (x2,y2)为右下角所围成的矩形区域;
始终要记得, a a a数组是 b b b数组的前缀和数组,比如对 b b b数组的 b [ i ] [ j ] b[i][j] b[i][j]的修改,会影响到 a a a数组中从 a [ i ] [ j ] a[i][j] a[i][j]及往后的每一个数。
假定我们已经构造好了 b b b数组,类比一维差分,我们执行以下操作
来使被选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c c c
b[x1][y1] += c;
b[x1,][y2+1] -= c;
b[x2+1][y1] -= c;
b[x2+1][y2+1] += c;
每次对b数组执行以上操作,等价于:
for(int i=x1;i<=x2;i++)for(int j=y1;j<=y2;j++)a[i][j]+=c;
我们画个图去理解一下这个过程:
b[x1][ y1 ] +=c
; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。
b[x1,][y2+1]-=c
; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c,使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y1]- =c
; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c,使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y2+1]+=c
; 对应图4,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c,红色内的相当于被减了两次,再加上一次c,才能使其恢复。
我们将上述操作封装成一个插入函数:
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{ //对b数组执行插入操作,等价于对a数组中的(x1,y1)到(x2,y2)之间的元素都加上了cb[x1][y1]+=c;b[x2+1][y1]-=c;b[x1][y2+1]-=c;b[x2+1][y2+1]+=c;
}
我们可以先假想a数组为空,那么b数组一开始也为空,但是实际上a数组并不为空,因此我们每次让b数组以(i,j)为左上角到以(i,j)为右下角面积内元素(其实就是一个小方格的面积)去插入 c=a[i][j],等价于原数组a中(i,j) 到(i,j)范围内 加上了 a[i][j] ,因此执行n*m次插入操作,就成功构建了差分b数组.
for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){insert(i,j,i,j,a[i][j]); //构建差分数组}}
总结
3.代码实现
import java.util.Scanner;public class Main {static int N = 1010;static int[][] a = new int[N][N], b = new int[N][N];public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt(), q = sc.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)a[i][j] = sc.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)insert(i, j, i, j, a[i][j]);while (q-- > 0) {int x1 = sc.nextInt(), y1 = sc.nextInt(), x2 = sc.nextInt(), y2 = sc.nextInt(), c = sc.nextInt();insert(x1, y1, x2, y2, c);}//二维前缀和for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {b[i][j] += b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1];}}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {System.out.print(b[i][j] + " ");}System.out.println();}}private static void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {b[x1][y1] += c;b[x2 + 1][y1] -= c;b[x1][y2 + 1] -= c;b[x2 + 1][y2 + 1] += c;}
}