并查集（高阶数据结构）

目录

一、并查集的原理

二、并查集的实现

2.1 并查集的初始化

2.2 查找元素所在的集合

2.3 判断两个元素是否在同一个集合

2.4 合并两个元素所在的集合

2.5 获取并查集中集合的个数

2.6 并查集的路径压缩

2.7 元素的编号问题

三、并查集题目

3.1 省份的数量

3.2 等式方程的可满足性

  • 并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题
  • 并查集通常用森林来表示，森林中的每棵树表示一个集合，树中的结点对应一个元素

说明： 虽然利用其他数据结构也能完成不相交集合的合并及查询，但在数据量极大的情况下，其耗费的时间和空间极大

一、并查集的原理

以朋友圈为例，现在有10个人（从0开始编号），刚开始这10个人互不认识，各自属于一个集合

并查集会用一个数组来表示这10个人之间的关系，数组的下标对应就是这10个人的编号，刚开始时数组中的元素都初始化为-1

说明：数组中某个位置的值为负数，表示该位置是树的根，这个负数的绝对值表示的这棵树（集合）中数据的个数，因为刚开始每个人各自属于一个集合，所以将数组中的位置都初始化为-1

后来这10个人之间通过相互认识，最终形成了三个朋友圈

此时并查集数组中各个位置的值如下

说明：数组中某个位置的值为非负数，表示该位置不是树的根，这个非负数的值就是这个结点的父结点的编号

后来4号和8号又通过某种机遇互相认识了，这时其所在的两个集合就需进行合并，最终就变成了两个朋友圈

在根据两个元素合并两个集合时，需先分别找到这两个元素所在集合的根结点，然后再将一个集合合并到另一个集合，并且合并后需要更新数组中根结点的值

合并集合找根结点的原因：

  1. 若这两个元素所在集合的根结点相同，说明这两个元素本身就在同一个集合，无需合并
  2. 合并集合后需要更新这两个集合的根结点的值

二、并查集的实现

实现并查集时通常会实现如下接口：

  • 初始化并查集
  • 查找元素所在的集合
  • 判断两个元素是否在同一个集合
  • 合并两个元素所在的集合
  • 获取并查集中集合的个数
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;class UnionFindSet
{
public:// 构造函数UnionFindSet(size_t size);// 查找元素所在的集合int FindRoot(int value);// 判断两个元素是否在同一个集合bool IsSameSet(int value1, int value2);// 合并两个元素所在的集合bool Union(int value1, int value2);// 获取并查集中集合的个数size_t GetSetSize();
private:vector<int> _ufs; //维护各个结点间的关系
};

并查集中的数组：

  • 数组的下标依次对应每个元素的编号
  • 数组中元素值为负数，表示下标编号元素为根结点，负数的绝对值表示该集合中元素的个数
  • 数组中元素值为非负数，表示下标编号元素的父结点的编号

2.1 并查集的初始化

并查集中会用一个数组来维护各个结点之间的关系，在初始化并查集时，根据元素的个数开辟数组空间，并将数组中的元素初始化为-1即可

UnionFindSet(size_t size): _ufs(size, -1) {}

2.2 查找元素所在的集合

查找元素所在的集合，本质就是查找元素所在集合的根结点

查找逻辑如下：

  • 若元素对应下标位置存储的是负数，则说明该元素即为根结点，返回该元素即可
  • 若元素对应下标位置存储的是非负数，则跳转到其父结点的位置继续查找根结点

迭代方式实现：

int FindRoot(int value)
{int root = value;while (_ufs[root] >= 0) root = _ufs[root];return root;
}

递归方式实现：

int FindRoot(int x) {return _ufs[x] < 0 ? x : FindRoot(_ufs[x]);
}

2.3 判断两个元素是否在同一个集合

要判断两个元素是否在同一个集合，本质就是判断这两个元素所在集合的根结点是否相同

bool IsSameSet(int value1, int value2) {return FindRoot(value1) == FindRoot(value2);
}

2.4 合并两个元素所在的集合

合并逻辑如下：

  1. 分别找到两个元素所在集合的根结点
  2. 若这两个元素所在集合的根结点相同，则无需合并。若这两个元素所在集合的根结点不同，则将小集合合并到大集合上
  3. 将小集合根结点的值累加到大集合的根结点上，使得大集合根结点的值的绝对值等于两个集合中元素的总数。
  4. 将小集合根结点的值改为大集合根结点的编号，即将小集合的根结点作为大集合根结点的孩子，使得两个集合变为一个集合
bool Union(int value1, int value2)
{int root1 = FindRoot(value1), root2 = FindRoot(value2);//本身在同一个集合,不需合并if (root1 == root2) return false;//合并操作: 数据量小的 往 数据量大的 合并if (abs(_ufs[root1]) < abs(_ufs[root2])) swap(root1, root2);_ufs[root1] += _ufs[root2];_ufs[root2] = root1;return true;
}

说明：当两个集合合并时，尽量将小集合合并到大集合上，因为被合并的那个集合中的所有结点在合并后层数都会加一，所以这样做的目的就是为了让较少的结点层数加一，该操作不是必须的

2.5 获取并查集中集合的个数

获取并查集中集合的个数，本质就是统计数组中负值（根结点）的个数

size_t GetSetSize()
{size_t count = 0;for (int i = 0; i < _ufs.size(); ++i)if (_ufs[i] < 0) ++count;return count;
}

2.6 并查集的路径压缩

当数据量很大的时候，并查集中树的层数可能会变得很高，这时查找一个元素所在集合的根结点时就需要往上走很多层，此时可以考虑进行路径压缩

路径压缩一般会在查找根结点时进行，当根据一个结点查找其根结点时，该路径上所有的结点都会被压缩，最终这些结点会直接被挂在根结点下，下次再根据这些结点查找根结点时就能快速找到根结点

迭代方式实现：

int FindRoot(int value)
{int root = value;while (_ufs[root] >= 0) root = _ufs[root];//路径压缩while (_ufs[value] >= 0){int parent = _ufs[value];_ufs[value] = root;value = parent;}return root;
}

递归方式实现：

int FindRoot(int x) 
{int parent = x; //默认当前结点就是根结点if (_ufs[x] >= 0) { //当前结点值不是负数则继续向上找parent = FindRoot(_ufs[x]); //找到根结点_ufs[x] = parent; //将当前结点的父亲改为根结点（路径压缩）}return parent;
}

2.7 元素的编号问题

上面在实现并查集时，默认元素的编号都是从0开始依次递增的，但用户所给的编号可能并不是从0开始的，也不是连续的，甚至可能不是数字

可以用模板的方式来实现并查集：

  • 在初始化并查集时，根据所给元素建立元素与数组下标之间的映射关系。
  • 在查找元素所在集合的根结点时，先根据所给元素得到其对应的数组下标，然后再进行查找
#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
using namespace std;template<class T>
class UnionFindSet
{
public:// 构造函数UnionFindSet(const vector<T>& v): _ufs(v.size(), -1) {for (int i = 0; i < v.size(); ++i)_indexMap[v[i]] = i;}// 查找元素所在的集合int FindRoot(const T& value){int root = _indexMap[value];while (_ufs[root] >= 0) root = _ufs[root];//路径压缩int tmp = _indexMap[value];while (_ufs[tmp] >= 0) {int parent = _ufs[tmp];_ufs[tmp] = root;tmp = parent;}return root;}// 判断两个元素是否在同一个集合bool IsSameSet(const T& value1, const T& value2) {return FindRoot(value1) == FindRoot(value2);}// 合并两个元素所在的集合bool Union(const T& value1, const T& value2){int root1 = FindRoot(value1), root2 = FindRoot(value2);//本身在同一个集合,不需合并if (root1 == root2) return false;//合并操作: 数据量小的 往 数据量大的 合并if (abs(_ufs[root1]) < abs(_ufs[root2])) swap(root1, root2);_ufs[root1] += _ufs[root2];_ufs[root2] = root1;return true;}// 获取并查集中集合的个数size_t GetSetSize(){size_t count = 0;for (int i = 0; i < _ufs.size(); ++i)if (_ufs[i] < 0) ++count;return count;}
private:vector<int> _ufs; //维护各个结点间的关系unordered_map<T, int> _indexMap;//维护元素与下标之间的映射关系
};

再使用并查集时就可以传入任意类型的元素了

int main() 
{vector<string> v = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "田七", "周八", "吴九" };UnionFindSet<string> ufs(v);cout << ufs.GetSetSize() << endl; //7ufs.Union("张三", "李四");ufs.Union("王五", "赵六");cout << ufs.GetSetSize() << endl; //5ufs.Union("张三", "赵六");cout << ufs.GetSetSize() << endl; //4return 0;
}

三、并查集题目

3.1 省份的数量

LCR 116. 省份数量 - 力扣（LeetCode）

class Solution 
{
public:int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {vector<int> ufs(isConnected.size(), -1);auto findRoot = [&ufs](int value) {while(ufs[value] >= 0) value = ufs[value];return value;};auto getSetSize = [&ufs]() {size_t count = 0;for(int i = 0; i < ufs.size(); ++i)if(ufs[i] < 0) ++count;return count;};for(size_t i = 0; i < isConnected.size(); ++i)for(size_t j = 0; j < isConnected[0].size(); ++j)if(isConnected[i][j] == 1) {int root1 = findRoot(i);int root2 = findRoot(j);if(root1 != root2) {ufs[root1] += ufs[root2];ufs[root2] = root1;}}return getSetSize();}
};

3.2 等式方程的可满足性

990. 等式方程的可满足性 - 力扣（LeetCode）

class Solution {
public:bool equationsPossible(vector<string>& equations) {vector<int> ufs(26, -1);auto findRoot = [&ufs](int value) {while(ufs[value] >= 0) value = ufs[value];return value;};//第一遍,先把相等的值合并到一个集合中for(auto& str : equations){if(str[1] == '='){int root1 = findRoot(str[0] - 'a');int root2 = findRoot(str[3] - 'a');if(root1 != root2){ufs[root1] += ufs[root2];ufs[root2] = root1;}}}//第二遍,查看不相等的值在不在一个集合,在就相悖,返回falsefor(auto& str : equations){if(str[1] == '!'){int root1 = findRoot(str[0] - 'a');int root2 = findRoot(str[3] - 'a');if(root1 == root2) return false;}}return true;}
};

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