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回溯算法理论基础
回溯函数遍历过程伪代码如下：
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果
}
for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。
backtracking这里自己调用自己，实现递归。
大家可以从图中看出for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。
分析完过程，回溯算法模板框架如下：
void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}
这份模板很重要，后面做回溯法的题目都靠它了！
77 组合
题目描述
https://leetcode.cn/problems/combinations/description/
给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。你可以按 任何顺序 返回答案。示例 1：输入：n = 4, k = 2
输出：
[[2,4],[3,4],[2,3],[1,2],[1,3],[1,4],
]示例 2：输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]提示：1 <= n <= 201 <= k <= n题目分析
回溯算法通过递归来控制有多少层for循环，回溯解决的时纯粹用for解决不到的暴力。回溯算法就是一个纯暴力，想优化可以做一些剪枝操作
直接的解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。
代码如下：
int n = 4;
for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = i + 1; j <= n; j++) {cout << i << " " << j << endl;}
}输入：n = 100, k = 3 那么就三层for循环，代码如下：
int n = 100;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
for (int u = j + 1; u <= n; n++) {
cout << i << " " << j << " " << u << endl;
}
}
}
如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息。
此时就会发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来！
咋整？
回溯搜索法来了，虽然回溯法也是暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。
那么回溯法怎么暴力搜呢？
上面我们说了要解决 n为100，k为50的情况，暴力写法需要嵌套50层for循环，那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题。
那么我把组合问题抽象为如下树形结构：
可以看出这棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不再重复取。
第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。
每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。
图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。
那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？
图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。
相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。
回溯法三部曲
- 递归函数的返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。
代码如下：
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果其实不定义这两个全局变量也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。
函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k个数，那么n和k是两个int型的参数。
然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,…,n] ）。
为什么要有这个startIndex呢？
在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。
所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。
那么整体代码如下：
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex)
- 回溯函数终止条件
什么时候到达所谓的叶子节点了呢？
path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。所以终止条件代码如下：if (path.size() == k) {result.push_back(path);return;
}-
单层搜索的过程
回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程
for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。
for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历path.push_back(i); // 处理节点backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}
可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。
backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。
acm模式完整代码
#include <iostream>
#include <vector>class Solution {private:std::vector<std::vector<int>> result;std::vector<int> path;void backTracking(int n, int k, int startIndex) {if (path.size() == k) {result.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i <= n; i++) {path.push_back(i);backTracking(n, k, i+1);//递归path.pop_back();}}public:std::vector<std::vector<int>> combine(int n, int k) {result.clear();path.clear();backTracking(n, k, 1);return result;}
};int main() {Solution sol;int n = 4;int k = 2;std::vector<std::vector<int>> combinations = sol.combine(n, k);for (const auto& comb:combinations) {for (int num:comb) {std::cout << num << " ";}std::cout << std::endl;}return 0;
}
这个问题的时间复杂度分析相对复杂，因为它取决于生成的组合数量以及每个组合生成所需的时间。
组合数量：对于给定的n和k，组合数是C(n, k)，也就是n个元素中选择k个元素的组合数。这个值可以用二项式系数来表示，即 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。每个组合生成的时间：在回溯算法中，每次递归都涉及到向path向量中添加或从中移除元素的操作。但这些操作的时间复杂度是常数时间，即O(1)。
综合这两点，算法的总体时间复杂度是O(C(n, k) * k)。这里的C(n, k)是生成的组合数，而乘以k是因为每生成一个组合，就需要O(k)的时间来构建这个组合（复制到结果集中）。
空间复杂度主要是由存储所有组合的结果集所决定的，也是O(C(n, k) * k)，加上递归调用栈的空间，最坏情况下递归深度为k，所以总的空间复杂度是O(C(n, k) * k + k)。
剪枝优化
所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。
如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。
注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
接下来看一下优化过程如下：
已经选择的元素个数：path.size();还需要的元素个数为: k - path.size();在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。
举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。
从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。
优化后完整代码
class Solution {
private:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking(int n, int k, int startIndex) {if (path.size() == k) {result.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方path.push_back(i); // 处理节点backtracking(n, k, i + 1);path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点}}
public:vector<vector<int>> combine(int n, int k) {backtracking(n, k, 1);return result;}
};
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