哈尔小波（Haar wavelet）是最早提出的小波变换之一，它的变换和逆变换运算比较简单。对于一维信号（向量）的哈尔小波变换，可以分为两个步骤：分解步骤和重建（逆变换）步骤。

正向变换：

对于给定的四元组 (a, b, c, d)，两次哈尔小波变换的过程如下：

1. 第一次变换：

   • 计算两个相邻元素的平均值（scaling coefficient，尺度系数）以及差值的一半（wavelet coefficient，小波系数）。

     S1 = (a + b) / 2
     W1 = (a - b) / 2

     S2 = (c + d) / 2
     W2 = (c - d) / 2

   • 结果是两个尺度系数和两个小波系数：(S1, S2, W1, W2)

2. 第二次变换：

   • 对尺度系数进行同样的操作。

     S = (S1 + S2) / 2
     W = (S1 - S2) / 2

   • 第二次变换的结果是：(S, W, W1, W2)

逆向变换：

对于给定的变换结果 (S, W, W1, W2)，两次哈尔小波逆变换的过程如下：

1. 第一次逆变换：

   • 利用S和W重建S1和S2：

     S1 = S + W<