最近公共祖先(LCA)主要算法:

1)向上标记法:

从x向上走到根节点,并标记所有经过的节点。

从y向上走到根节点,当第一次遇到已标记的节点时,就找到了LCA(x,y).

2)树上倍增法:

树上倍增法是一个很重要的算法。除了求LCA之外,他在很多问题中都有广泛应用。设F[x,k]表示x的2^k倍祖先,即从x走向根节点走2^k步到达的节点。特别地,若该节点不存在,则令F[x,y]=0。F[x,0]就是x的父节点。除此之外,任意k属于[1,logn],F[x,k]=F[F[x,k-1],k-1]。

这类似于一个动态规划的过程,“阶段”就是节点的深度。因此,我们可以对树进行广度优先遍历,按照层次顺序,在节点入队之前,计算它在F数组中相应的值。

以上部分处理是预处理,时间复杂度是O(nlogn),之后可以多次对不同的x,y计算LCA,每次询问的时间复杂度为O(logn)

基于F数组的计算LCA(x,y)分为以下几步。

1.设d[x]表示x的深度。不妨设d[x]>=d[y](否则可交换x,y)

2.用二进制拆分思想,把x向上调整到于y同一深度。具体来说,就是依次尝试从x向上走k=2^(logn),……,2^1,2^0步,检查到达节点是否比y深。每次检查中,若是,则令x=F[x,y]。

3.若此时x==y,说明已经找到了LCA,LCA就等于y。

4.用二进制思想拆分,把x,y同时向上调整,并保持深度一致且二者不会相同。具体来说,就是一次尝试把x,y同时向上走k=2^(logn),……,2^1,2^0步,若F[x,k]!=F[y,k](即仍未相会),则令x=F[x,k],y=F[y,k]。

5.此时x,y必定只差一步就相会了,它们的父节点F[x,0]就是LCA。

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