1170. 排队布局 - AcWing题库

当排队等候喂食时，奶牛喜欢和它们的朋友站得靠近些。

农夫约翰有 N 头奶牛，编号从 1 到 N，沿一条直线站着等候喂食。

奶牛排在队伍中的顺序和它们的编号是相同的。

因为奶牛相当苗条，所以可能有两头或者更多奶牛站在同一位置上。

如果我们想象奶牛是站在一条数轴上的话，允许有两头或更多奶牛拥有相同的横坐标。

一些奶牛相互间存有好感，它们希望两者之间的距离不超过一个给定的数 L。

另一方面，一些奶牛相互间非常反感，它们希望两者间的距离不小于一个给定的数 D。

给出 ML 条关于两头奶牛间有好感的描述，再给出 MD 条关于两头奶牛间存有反感的描述。

你的工作是：如果不存在满足要求的方案，输出-1；如果 11 号奶牛和 N 号奶牛间的距离可以任意大，输出-2；否则，计算出在满足所有要求的情况下，11 号奶牛和 N 号奶牛间可能的最大距离。

输入格式

第一行包含三个整数 N,ML,MD。

接下来 ML 行，每行包含三个正整数 A,B,L，表示奶牛 A 和奶牛 B 至多相隔 L 的距离。

再接下来 MD 行，每行包含三个正整数 A,B,D，表示奶牛 A 和奶牛 B 至少相隔 D 的距离。

输出格式

输出一个整数，如果不存在满足要求的方案，输出-1；如果 1 号奶牛和 N 号奶牛间的距离可以任意大，输出-2；否则，输出在满足所有要求的情况下，1 号奶牛和 N 号奶牛间可能的最大距离。

数据范围

2≤N≤1000
1≤ML,MD≤104
1≤L,D≤106

输入样例：

4 2 1
1 3 10
2 4 20
2 3 3

输出样例：

27

解析： 

差分约束

（1）求不等式组的可行解

源点需要满足的条件：从源点出发，一定可以走到所有的边。

步骤：

【1】先将每个不等式xi<=xj+ck,转化成一条从xj走到xi，长度为ck的一条边。

【2】找一个超级源点，使得该源点一定可以遍历所有的边

【3】从源点求一遍单源最短路

结果1：如果存在负环，则原不等式组一定无解

结果2：如果没有负环，则dist[i]就是原不等式组的一个可行解

（2）如何求最大值或最小值，这里的最值指的是每个变量的最值

结论：如果求的是最小值，则应该求最长路；如果球的是最大值，则应该求最短路；

问题：如何转化xi<=c,其中c是一个常数，这类的不等式。

方法：建立一个超级源点，0，然后建立0->i,长度是c的边即可。

要求xi的最大值为例：求所有从xi出发，构成的不等式链xi<=xj+c1<=xk+c2+c1<=……<=c1+c2+……

所计算出的上界，最终xi的最大值等于所有上界的最小值。

根据以上原则，可以得出以下三个不等式：

1）x[i]<=x[i+1],且1<=i<n

2）x[b]<=x[a]+L

3）x[a]<=x[b]-D

此外，还需要判断：源点需要满足的条件：从源点出发，一定可以走到所有的边。有，x[n]就是这样的源点。

第一问：只需要判断有没有负环即可

第二问：只需要将x[1]=0，跑一遍最短路然后判断x[n]是否等于正无穷即可。

第三问：跑一边最短路即可。

 

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using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e3 + 5, M = 2e4 + 5 + N, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m1, m2;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N], q[N], cnt[N], vis[N];void add(int a, int b, int c) {e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}int spfa(int u) {memset(dist, INF, sizeof dist);memset(vis, 0, sizeof vis);memset(cnt, 0, sizeof cnt);int hh = 0, tt = 0;q[tt++] = u;dist[u] = 0;vis[u] = 1;while (hh != tt) {int t = q[hh++];if (hh == N)hh = 0;vis[t] = 0;for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {int j = e[i];if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {dist[j] = dist[t] + w[i];cnt[j] = cnt[t] + 1;if (cnt[j] >= n)return 1;if (!vis[j]) {q[tt++] = j;if (tt == N)tt = 0;vis[j] = 1;}}}}return 0;
}int main() {cin >> n>>m1>>m2;memset(h, -1, sizeof h);for (int i = 1; i < n; i++)add(i + 1, i, 0);for (int i = 1,a,b,c; i <= m1; i++) {scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);if(a > b)swap(a, b);add(a, b, c);}for (int i = 1, a, b, c; i <= m2; i++) {scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);if (a > b)swap(a, b);add(b, a, -c);}if (spfa(n))cout << -1 << endl;else {spfa(1);if (dist[n] == INF)cout << -2 << endl;else cout << dist[n] << endl;;}return 0;
}