给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。

        73   88   1   02   7   4   4
4   5   2   6   5

输入格式

第一行包含整数 n，表示数字三角形的层数。

接下来 n 行，每行包含若干整数，其中第 i 行表示数字三角形第 i 层包含的整数。

输出格式

输出一个整数，表示最大的路径数字和。

数据范围

1≤n≤500,
−10000≤三角形中的整数≤10000

输入样例：

5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

输出样例：

30

思路：在分析状态集合的时候，可以发现如果f(i,j)是自顶向下遍历，那就有很多边界问题需要处理，因为下一层的f(i,j)可以由f(i-1,j-1)和f(i-1,j)递推。而如果是自底向上遍历就不需要考虑边界问题。这里是因为自底向上是层数越来越小（不需要考虑边界），自顶向下层数越来越大（需要考虑边界）

 

完整代码（很简洁）：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=510;
int dp[N][N];
int main(){int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=i;j++)cin>>dp[i][j];for (int i=n-1;i;i--) {for (int j = 1; j <= i; j++){dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]);}}cout<<dp[1][1];
}

带注释：

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 510;  // 定义常量 N 为 510，表示数字三角形的最大层数int dp[N][N];  // 定义二维数组 dp，用于存储动态规划中的状态值int main() {int n;  // 声明变量 n，用于存储数字三角形的层数cin >> n;  // 读取输入的层数// 循环读取输入的每一行数据，并存储到二维数组 dp 中for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= i; j++)cin >> dp[i][j];// 动态规划求解，从倒数第二行开始向上递推for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {for (int j = 1; j <= i; j++) {// 状态转移方程：dp[i][j] 表示第 i 行第 j 列位置的最大路径和// 更新 dp[i][j] 为当前位置值加上下一行相邻两个位置中的较大值dp[i][j] += max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]);}}// 输出结果，即在第一行第一列的位置上的最大路径和cout << dp[1][1];return 0;
}