简化剩余系
与完全剩余系略有区别。
我们定义数组 a i ( 1 ≤ i ≤ n ) a_i(1\le i\le n) ai(1≤i≤n) 为模 m m m 的简化剩余系，当且仅当 ∀ 1 ≤ i , j ≤ n \forall 1\le i,j\le n ∀1≤i,j≤n，有 a i ≢ a j ( m o d m ) a_i\not\equiv a_j\pmod m ai≡aj(modm)， ∀ 1 ≤ i ≤ n \forall 1\le i\le n ∀1≤i≤n，有 gcd ( m , a i ) = 1 \gcd(m,a_i)=1 gcd(m,ai)=1
- 若 a i ( 1 ≤ i ≤ n ) a_i(1\le i\le n) ai(1≤i≤n) 为模 m m m 的简化剩余系， gcd ( b , m ) = 1 \gcd(b,m)=1 gcd(b,m)=1，则 b ⋅ a i ( 1 ≤ i ≤ n ) b\cdot a_i(1\le i\le n) b⋅ai(1≤i≤n) 也为模 m m m 的简化剩余系。
简化剩余系的性质都在欧拉函数上了。。。
欧拉函数
定义欧拉函数 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n) 为小于等于 n n n 且与 n n n 互质的数的个数，即模 n n n 的简化剩余系的大小。
性质
- ϕ ( n ) = n ∏ p ∈ prime p ∣ n ( 1 − 1 p ) \phi(n)=n\prod\limits_{\begin{subarray}{l}p\in\text{prime}\\p|n\end{subarray}}(1-\frac 1 p) ϕ(n)=np∈primep∣n∏(1−p1)
- 若 gcd ( n , m ) = 1 \gcd(n,m)=1 gcd(n,m)=1，则 ϕ ( n m ) = ϕ ( n ) ϕ ( m ) \phi(nm)=\phi(n)\phi(m) ϕ(nm)=ϕ(n)ϕ(m)，即 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n) 为积性函数
欧拉定理
若 gcd ( a , n ) = 1 \gcd(a,n)=1 gcd(a,n)=1，则 a ϕ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) a^{\phi(n)}\equiv1\pmod n aϕ(n)≡1(modn)
构造 b i ( 1 ≤ i ≤ ϕ ( n ) ) b_i(1\le i\le\phi(n)) bi(1≤i≤ϕ(n)) 为模 n n n 的简化剩余系，则 c i = b i ⋅ a ( 1 ≤ i ≤ ϕ ( n ) ) c_i=b_i\cdot a(1\le i\le\phi(n)) ci=bi⋅a(1≤i≤ϕ(n)) 也为模 n n n 的简化剩余系
则 ∏ i = 1 ϕ ( n ) c i ≡ ∏ i = 1 ϕ ( n ) b i ( m o d n ) \prod\limits^{\phi(n)}_{i=1}c_i\equiv\prod\limits^{\phi(n)}_{i=1}b_i\pmod n i=1∏ϕ(n)ci≡i=1∏ϕ(n)bi(modn)
即 ∏ i = 1 ϕ ( n ) b i ⋅ a ≡ ∏ i = 1 ϕ ( n ) b i ( m o d n ) \prod\limits^{\phi(n)}_{i=1}b_i\cdot a\equiv\prod\limits^{\phi(n)}_{i=1}b_i\pmod n i=1∏ϕ(n)bi⋅a≡i=1∏ϕ(n)bi(modn)
约去 ∏ i = 1 ϕ ( n ) b i \prod\limits^{\phi(n)}_{i=1}b_i i=1∏ϕ(n)bi，得 a ϕ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) a^{\phi(n)}\equiv1\pmod n aϕ(n)≡1(modn)，证毕。
扩展欧拉定理
由欧拉定理，得到扩展欧拉定理： a n ≡ a n mod ϕ ( n ) + ϕ ( n ) ( m o d n ) a^n\equiv a^{n\>\text{mod}\>\phi(n)+\phi(n)}\pmod n an≡anmodϕ(n)+ϕ(n)(modn)
代码（就是快速幂，不贴了）
习题
- 洛谷P5091
)
