Max Value of Equation 满足不等式的最大值

问题描述：

给你一个数组 points 和一个整数 k 。数组中每个元素都表示二维平面上的点的坐标，并按照横坐标 x 的值从小到大排序。也就是说 $points[i]=[x_i,y_i]$，并且在 $1<=i<j<=points.length$ 的前提下， $x_i<x_j$ 总成立。

请你找出 $y_i+y_j+|x_i-x_j|$ 的 最大值，其中 $|x_i-x_j|<=k且1<=i<j<=points.length$。

题目测试数据保证至少存在一对能够满足 $|x_i-x_j|<=k$ 的点。

$$\begin{gathered} 2<=points.length<=10^4 \\ points[i].length==2 \\ -10^8<=points[i][0],points[i][1]<=10^8 \\ 0<=k<=2\ast 10^8 \\ 对于所有的1<=i<j<=points.length，points[i][0]<points[j][0]都成立。也就是说，x_i是严格递增的 \end{gathered}$$

分析

其实这个问题谜底就在谜面上。
中文是满足不等式，英文是等式的最大值。

points是一堆二维平面坐标的数组，而且是以x非递减的顺序排列。

要求找出$y_i+y_j+|x_i-x_j|的最大值，i<j$。

所以 $j$一定是在$i$的右侧，而且$points$是非递减，所以$x_j>x_i$.
$$\begin{gathered} f=y_i+y_j+|x_i-x_j| \\ f=y_i+y_j+x_j-x_i \end{gathered}$$
为了f最大，当固定j时，$y_j+x_j=C$,
$f=C+(y_i-x_i)$,所以最符合条件的 $i$ 应该是$y_i-x_i$ 最大。

而k的存在就是对i和j的范围限制。

可以使用优先队列进行处理。 所以整体的时间复杂度大概为$O(NlogN)$

代码

优先队列

public int findMaxValueOfEquation(int[][] points, int k) { int n = points.length;//x,y-xPriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<int[]>((a,b)->{if(a[1]==b[1]) return a[0]-b[0];return b[1]-a[1];});int ans = Integer.MIN_VALUE;for(int i =0;i<n;){int[] p = points[i];int xj = p[0],yj = p[1];while(!pq.isEmpty()&& (xj - pq.peek()[0])>k){pq.poll();}// pq maybe null or at least one e.if(!pq.isEmpty()){//calc ans = Math.max(ans, xj+yj+pq.peek()[1]);}pq.offer(new int[]{ xj, yj-xj});i++;}return ans; }

时间复杂度$O(NlogN)$

空间复杂度$O(k)$

Tag

Array

PriorityQueue