原题链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/73799/D

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64bit IO Format: %lld

题目描述

夜雷很喜欢特别大的数字，曾经一度算阶乘算了好几页纸

现在夜雷定义了一种很新的阶乘  f(x) = x * (x-1)^2 * (x-2)^3 *………* 2^(x-1) * 1^x

夜雷算麻了，小小的脑子装不下那么多数，他希望你能帮他算一算。

为了省下一点纸，他希望你能帮他算出该函数的质因数分解形式

输入描述:

一行，一个整数 x（1<x<=1e7），表示运算式的输入。

输出描述:

一个字符串，表示f(n)的质因子分解形式，要求按照质因子从小到大排列

示例1

输入

5

输出

f(5)=2^8*3^3*5

解题思路：

首先根据题目表达式只需要对1~n中的每一个数进行质因数分解即可，对于指数只要对分解出来的所有质因数乘上相应的值即可，1不需要分解，所以只需要考虑2~n即可，分解质因数时间为O(根号n)，对于1~n中的每个数都分解质因数，时间为O(根号1+根号2+根号3+...+根号n)，这个时间不是很好计算，我写个代码计算一下大概=21081852648，大概是2e10，这个时间复杂度非常高了，肯定过不了，我们考虑看有没有什么优化方式。

首先我们知道对于任意一个非质数k肯定都可以分解为俩个数a和b的乘积，我们让a为质数，那么b可能为质数，可能不是质数，但是a和b都比k小，例如k=a*b，cnt[a]+=k,cnt[b]+=k,cnt[k]=0，我们从大到小枚举n~2,那么就能将所有的大的非质数分解为小的质数，这样每个数只需要枚举一次，时间复杂度为O(n),n=1e7，这个时间是肯定可以过的，对于质数就不需要分解了，根据上面分析我们还需要先拿到1~n中的所有质数，我们线性筛拿到所有质数即可。

总结：这个题目出的挺好的，不是很难而且运用到了一些很好的数学优化技巧。

时间复杂度：首先线性筛时间复杂度为O(n)，然后枚举每一个数时间复杂度为O(n)，最终时间复杂度为O(n)。

空间复杂度：空间复杂度为O(n)。

cpp代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e7+10;LL cnt[N],vis[N];
int primes[N], number;
bool st[N];void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]) primes[number ++ ] = i,vis[i]=i;for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){vis[primes[j]*i]=primes[j];st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0) break;}}
}
int main()
{int x;cin>>x;get_primes(x);  //线性筛//枚举每一个数进行一分为二for(int i=1;i<x;i++){int k=x-i+1;cnt[k]+=i;if(vis[k]==k)continue;  //vis[k]==k表示k为质数int x1=vis[k],x2=k/vis[k];cnt[x1]+=cnt[k],cnt[x2]+=cnt[k];cnt[k]=0;}//按照要求的输出格式输出答案printf("f(%d)=",x);bool ok=false;for(int i=2;i<=x;i++)if(cnt[i]!=0){if(ok)printf("*");printf("%d",i);if(cnt[i]==1){continue;}printf("^%lld",cnt[i]);ok=true;}return 0;
}