贝塞尔曲线（Bezier Curve）在计算机图形领域应用非常广泛，比如我们 CSS 动画、 Canvas 以及 Photoshop 等都可以看到贝塞尔曲线的身影。

贝塞尔曲线类型

贝塞尔曲线根据_控制点_的数量分为：

• 一阶贝塞尔曲线（2 个控制点）
• 二阶贝塞尔曲线（3 个控制点）
• 三阶贝塞尔曲线（4 个控制点）
• n阶贝塞尔曲线（n+1个控制点）

如何绘制出贝塞尔曲线

下图为一个三阶的贝塞尔曲线，包括四个控制点，分别为$$P_0,P_1,P_2,P_3$$

那我们通过控制点是怎么绘制出贝塞尔曲线的呢？

通过上图的三阶贝塞尔曲线举例，基本的步骤如下：

1. 四个控制点通过先后顺序进行连接，形成了三条线段，也就是上图中的$$P_0{P}_1,P_1{P}_2,P_2{P}_3$$，然后通过一个参数$$t,其中t\in [0,1]$$该参数的值等于线段上某一个点距离起点的长度除以线段长度。就比如$$P_0{P}_1$$线段上有一个点$$P_0^{{}^{\prime }}，此时t的值就是$$ $$\frac{P_0{P}_{{}^{\prime }}}{P_0{P}_1}$$，其中$P_0^{{}^{\prime }}$位置如下图所示。

2. 接下来对每一条线段做同样的操作，得到三个控制点$$P_0^{{}^{\prime }},P_1^{{}^{\prime }},P_2^{{}^{\prime }}$$，如下图所示。

3. 然后对这三个控制点重复第1步操作，得出两个控制点$$P_0^{{}^{\prime \prime }},P_1^{{}^{\prime \prime }}$$，如下图所示。

4. 最后再使用同样的方法可以得到，最终的一个点$$P_0^{{}^{\prime \prime \prime }}$$，如下图所示，此时这个点就是贝塞尔曲线上的一个点。

通过控制t的值，由 0 增加至 1，就绘制出了一条由起点P_0至终点P_1的贝塞尔曲线。

通过下面这个动画直观感受一下绘制的过程：

求贝塞尔曲线上的点坐标

贝塞尔曲线的定义

给定n+1个控制点，则n次贝塞尔曲线的定义为

$$p(t)=\sum _{i=0}^n{P}_i{B}_{i,n}(t),t\in [0,1]$$式子中$$B_{i,n}(t)$$是贝塞尔基数，表达式为$$B_{i,n}(t)=C_n^i{t}^i(1-t{)}^{n-i},i=0,1,\mathrm{2...},n$$

1、一阶贝塞尔曲线

对于一阶贝塞尔曲线，我们可以通过几何知识，很容易根据t的值得出线段上那个点的坐标：

$$p(t)=P_0+(P_1-P_0)t$$

然后可以得出：

$$p(t)=(1-t)P_0+t{P}_1,t\in [0,1]$$

也可以直接根据定义得出$$p(t)=\sum _{i=0}^1{P}_i{B}_{i,1}(t)=(1-t)P_0+t{P}_1$$

2、二阶贝塞尔曲线

对于二阶贝塞尔曲线，其实你可以理解为：在$$P_0{P}_1$$上利用一阶公式求出点$$P_0^{{}^{\prime }}$$，然后在

P_1P_2上利用一阶公式求出点$$P_1^{{}^{\prime }}$$，最后在 $$P_0^{{}^{\prime }}{P}_1^{{}^{\prime }}$$ 上再利用一阶公式就可以求出最终贝塞尔曲线上的点$$P_0{}^{\prime \prime }$$。具体推导过程如下：

$$P_0^{{}^{\prime }}=(1-t)P_0+t{P}_1$$

$$P_1^{{}^{\prime }}=(1-t)P_1+t{P}_2$$

$$P_0^{{}^{\prime \prime }}=(1-t)P_0^{{}^{\prime }}+t{P}_1^{{}^{\prime }}$$

整理得到$$P_0^{{}^{\prime \prime }}=(1-t{)}^2{P}_0+2t(1-t)P_1+t^2{P}_2$$

3、三阶贝塞尔曲线

!

与二阶贝塞尔曲线类似，可以通过相同的几何方法得出以下坐标公式：

$$p(t)=(1-t{)}^3{P}_0+3t(1-t{)}^2{P}_1+3t^2(1-t)P_2+t^3{P}_3,t\in [0,1]$$

应用

三次贝塞尔曲线绘制圆

如图所示，使用三次贝塞尔曲线可以绘制出1/4个圆，那么通过二维变换就可以绘制出一个圆。$$假设点P_0^0(0,1)点P_1^0(m,1)点P_2^0(1,m)点P_3^0(1,0)$$
三次贝塞尔曲线的表达式为$$p(t)=(1-t{)}^3{P}_0+3t(1-t{)}^2{P}_1+3t^2(1-t)P_2+t^3{P}_3$$
对于圆弧的中点，t=0.5有$$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{8}{P}_0^0+\frac{3}{8}{P}_1^0+\frac{3}{8}{P}_2^2+\frac{1}{8}{P}_3^0$$
带入点的坐标可以得到$$m=\frac{4(\sqrt{2}-1)}{3}\approx 0.5523$$

/*曲线的轨迹可以用直线去拟合也可以用一个个像素点*/
void CBezierCurve3::DrawCurve(CDC* pDC)
{CPen NewPen, *OldPen;NewPen.CreatePen(PS_SOLID, 3, RGB(255, 0,0));OldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);CPoint2 p00 = m_p[0], p10 = m_p[1], p20 = m_p[2], p30 = m_p[3];//控制点CPoint2 p01, p11, p21, p02, p12, p03;//插值点double step = 0.001;/*pDC->MoveTo(int(m_p[0].m_x + 0.5), int(m_p[0].m_y + 0.5));*/for (double t = 0.00; t < 1; t += step) {p01 = (1 - t) * p00 + t * p10;p11 = (1 - t) * p10 + t * p20;p21 = (1 - t) * p20 + t * p30;p02 = (1 - t) * p01 + t * p11;p12 = (1 - t) * p11 + t * p21;p03 = (1 - t) * p02 + t * p12;/*pDC->LineTo(int(p03.m_x + 0.5), int(p03.m_y + 0.5));*/auto c = LinearInterP(t,  CRGB(1, 0, 0), CRGB(1.0, 0, 1.0));pDC->SetPixelV(p03.m_x, p03.m_y, COLOR(c));}/*pDC->LineTo(int(m_p[3].m_x + 0.5), int(m_p[3].m_y + 0.5));*/pDC->SelectObject(OldPen);NewPen.DeleteObject();
}
#define M 4.0/3*(sqrt(2)-1)
C贝塞尔曲线View::C贝塞尔曲线View() noexcept
{CPoint2 p[4] = { {0,1},{M,1} ,{1,M},{1,0} };for (int i = 0; i < 4; i++) {curve[i].ReadPoint(p);transform[i].SetMatrix(curve[i].m_p, 4);}transform[0].Scale(100, 100);transform[1].Scale(-100,100);transform[2].Scale(-100,-100);transform[3].Scale(100,-100);
}

多条贝塞尔曲线拼接

假设有两段三贝塞尔曲线p(t)和q(t)。曲线的控制点分别是
$P_0,P_1,P_2,P_3,Q_0,Q_1,Q_2,Q_3$如果这两段曲线要拼接，那么就要求$P_2,Q_0(P_3),Q_1$三点共线。

• 二次贝塞尔曲线绘制爱心

  void CBezierCurve2::DrawCurve(CDC* pDC)
{CPen NewPen, * OldPen;NewPen.CreatePen(PS_SOLID, 3, RGB(255, 0, 0));OldPen = pDC->SelectObject(&NewPen);CPoint2 p00 = m_p[0], p10 = m_p[1], p20 = m_p[2];//控制点CPoint2 p01, p11,  p02;//插值点double step = 0.00001;/*pDC->MoveTo(int(m_p[0].m_x + 0.5), int(m_p[0].m_y + 0.5));*/for (double t = 0.00; t < 1; t += step) {p01 = (1 - t) * p00 + t * p10;p11 = (1 - t) * p10 + t * p20;p02 = (1 - t) * p01 + t * p11;/*pDC->LineTo(int(p03.m_x + 0.5), int(p03.m_y + 0.5));*/auto c = LinearInterP(t, CRGB(1, 0, 0), CRGB(1.0, 0, 1.0));pDC->SetPixelV(p02.m_x, p02.m_y, COLOR(c));}/*pDC->LineTo(int(m_p[3].m_x + 0.5), int(m_p[3].m_y + 0.5));*/pDC->SelectObject(OldPen);NewPen.DeleteObject();
}
C贝塞尔曲线View::C贝塞尔曲线View() noexcept
{CPoint2 P2[3] = { {0,0},{1.4,1.8},{2,0} };CPoint2 P3[3] = { {2,0},{2.3,-3 * 2.3 + 6},{0,-2.6} };\\P2[1],P2[2](P3[0]),P3[1]三点共线curve2[0].ReadPoint(P2);transform[0].SetMatrix(curve2[0].m_p, 3);transform[0].Scale(100, 100);curve2[1].ReadPoint(P2);transform[1].SetMatrix(curve2[1].m_p, 3);transform[1].Scale(-100, 100);curve2[2].ReadPoint(P3);transform[2].SetMatrix(curve2[2].m_p, 3);transform[2].Scale(100, 100);curve2[3].ReadPoint(P3);transform[3].SetMatrix(curve2[3].m_p, 3);transform[3].Scale(-100, 100);}

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