逆序对的数量
- 1.题目
- 2.基本思想
- 3.代码实现
1.题目
给定一个长度为 n n n 的整数数列,请你计算数列中的逆序对的数量。逆序对的定义如下:对于数列的第 i i i个和第 j j j 个元素,如果满足
i < j i<j i<j 且 a [ i ] > a [ j ] a[i]>a[j] a[i]>a[j] ,则其为一个逆序对;否则不是。
输入格式
第一行包含整数 n n n,表示数列的长度。
第二行包含 n n n 个整数,表示整个数列。
输出格式
输出一个整数,表示逆序对的个数。
数据范围
1 ≤ n ≤ 100000 1≤n≤100000 1≤n≤100000,数列中的元素的取值范围 [ 1 , 1 0 9 ] [1,10^9] [1,109]。
输入样例:
6
2 3 4 5 6 1
输出样例:
5
2.基本思想
法1:
双重for暴力 ——> 时间超时
O(n^2)
法2:
归并排序
基于归并排序的解法
一种高效的计算逆序对的方法是使用修改后的归并排序算法。基本思想是将数组分割为较小的子数组,递归地对它们进行排序,然后在合并过程中计算逆序对。
-
归并排序步骤:将数组递归地分割为两半,直到每个子数组只有一个元素。然后,将子数组按照排序顺序合并回来,同时在合并过程中计算逆序对。
-
合并过程中计算逆序对:在合并两个已排序的子数组时,如果发现逆序对(即 arr[i] > arr[j]),则将逆序对的数量递增为第一个子数组中剩余的元素数量(即
(mid - i + 1)
,其中 mid 是合并的子数组的中间索引)。 -
这是因为在合并过程中,如果左边的子数组元素 arr[i] 大于右边的子数组元素 arr[j],则 arr[i] 大于右边子数组中的所有元素,形成逆序对。
示例
假设一个数组 arr = [4, 3, 2, 1]。
使用基于归并排序的方法,我们可以如下计算逆序对的数量:
初始数组:[4, 3, 2, 1]
归并排序步骤1:[4, 3, 2, 1] -> [4, 3], [2, 1]
归并排序步骤2:[4, 3], [2, 1] -> [4], [3], [2], [1]
归并排序步骤3:合并 [4], [3]
,得到[3, 4]
合并过程中计算逆序对: [4]
与 [3]
合并,总逆序对数量 = 1(因为 4 > 3 且 且 4 后面没有其他元素)
归并排序步骤4:合并 [2], [1],
得到[1, 2]
合并过程中计算逆序对:[2]
与 [1]
合并,总逆序对数量 = 1(因为 2 > 1 且 且 2 后面没有其他元素)
归并排序步骤5:[3, 4], [1, 2] -> [1, 2, 3, 4]
合并过程中计算逆序对:[3, 4]
与 [1, 2]
合并,总逆序对数量 = 4(最开始 3 和 1 比较,因为3 > 1
, 所以逆序对为 mid - l + 1 = 1 - 0 + 1 = 2
个。 接下来3 与 2 比较:因为3 > 2
, 所以逆序对为 mid - l + 1 = 1 - 0 + 1 = 2
个。)
最终逆序对数量:1 + 1 + 2 + 2 = 6
- 时间复杂度:该方法的时间复杂度为 O(n log n)。
3.代码实现
import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int[] arr = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) arr[i] = sc.nextInt();System.out.println((merge_sort(arr, 0, n - 1)));}private static long merge_sort(int[] arr, int l, int r) {if (l >= r) return 0;int mid = (l + r) >> 1;long res = 0;//子序列归并res += merge_sort(arr, l, mid) + merge_sort(arr, mid + 1, r);int i = l, j = mid + 1, k = 0;int[] temp = new int[r - l + 1];while (i <= mid && j <= r) {if (arr[i] <= arr[j]) temp[k++] = arr[i++];else {temp[k++] = arr[j++];res += mid - i + 1;}}while (i <= mid) temp[k++] = arr[i++];while (j <= r) temp[k++] = arr[j++];for (i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) arr[i] = temp[j];return res;}
}