第十四届蓝桥杯国赛 C++ B 组 G 题—

第十四届蓝桥杯国赛 C++ B 组 G 题——AB路线（AC）

1. AB路线

前置知识点：BFS (广度优先搜索)

1. 问题描述

有一个由 $\times M$ 个方格组成的迷宫，每个方格写有一个字母 A 或者 B。小蓝站在迷宫左上角的方格，目标是走到右下角的方格。他每一步可以移动到上下左右相邻的方格去。

由于特殊的原因，小蓝的路线必须先走 $K$ 个 A 格子、再走 $K$ 个 B 格子、再走 $K$ 个 A 格子、再走 $K$ 个 B 格子…如此反复交替。

请你计算小蓝最少需要走多少步，才能到达右下角方格? 注意路线经过的格子数不必一定是 $K$ 的倍数，即最后一段 A 或 B 的格子可以不满 $K$ 个。起点保证是 A 格子。

例如 $K = 3$ 时，以下 $3$ 种路线是合法的:

AAA
AAAB
AAABBBAAABBB

以下 $3$ 种路线不合法:

ABABAB
ABBBAAABBB
AAABBBBBBBAAA

2. 输入格式

第一行包含三个整数 $N$ 、 $M$ 和 $K$ 。

以下 $N$ 行，每行包含 $M$ 个字符 ( A 或 B )，代表格子类型。

3. 输出格式

一个整数，代表最少步数。如果无法到达右下角，输出 $- 1$ 。

4. 样例输入

4 4 2 
AAAB 
ABAB 
BBAB 
BAAA

5. 样例输出

6. 样例说明

每一步方向如下：下右下右上右下下；路线序列：AABBAABBA。

7. 评测用例规模与约定

对于 $20\%$ 的数据， $\leq N,M \leq 4$ 。

对于另 $20\%$ 的数据， $K = 1$ 。

对于 $100\%$ 的数据， $\leq N,M \leq 1000$ ， $\leq K \leq 10$ 。

8. 原题链接

AB路线

2. 解题思路

在着手解决本问题之前，你需要熟悉基础的 BFS 搜索算法，具体内容可以参考这个链接：https://oi-wiki.org/graph/bfs/。

我们所熟知的 BFS 搜索模型常常是在一个迷宫中从左上角出发，目标是到达右下角，可以上下左右移动，但某些位置有陷阱无法通过，我们需要求的是最短到达时间。

这道题目的基本模型与我们熟悉的搜索模型大致相同，它们的共性包括：

都是从左上角出发，目标是到达右下角。
都可以在四个方向进行移动。
每次移动的权值都为 $1$ 。

因此，这道题很有可能可以使用 BFS 来解答。然而，我们还需要注意到它们的差异性：

在常见的模型中，存在无法通过的陷阱，而在这道题目中，没有陷阱，这使得题目在这一点上甚至比常见的模型更简单。
在常见的模型中，除了陷阱，可以随意移动，而在这道题目中，移动受到 $\text{A,B}$ 格之间不能随意通行的限制。
在常见的模型中，每个格子只能被访问一次，而在这道题目中，每个格子最多可以被访问 $k$ 次。这一点非常重要。

接下来，我们将重点讨论最后这一点：

在常规的 BFS 算法中，我们会使用一个数组 $st_{ij}$ 来标识某个位置是否已经被访问过。如果该值为 true，则表示该位置已经被访问过，不能再次访问；如果该值为 false，则表示该位置尚未被访问。这种做法是保证 BFS 算法复杂度的关键，因为每个位置最多只会被访问一次。

但在这道题目中，每个位置可能会被访问多次。因为题目规定 $A$ 格只能到达 $A$ 格，如果想从 $A$ 格到达 $B$ 格，必须在第 $K$ 次访问 $A$ 格时才能达到， $B$ 格同理。

这就意味着，每个格子最多可能会被访问 $K$ 次。假设某个格子 $(i, j)$ 的字符为 $A / B$ ，到达它可能是连续走了 $\cdots, K$ 个 $A / B$ 格。

由于 $K$ 的取值范围不大，我们可以考虑对 $s t$ 数组进行扩展，定义 $st_{i,j,k}$ 表示连续走过 $k$ 个 $A / B$ 格后是否能到达格子 $(i, j)$ ，如果能，标记为 true，否则标记为 false。因此，对于同一个 $k$ ，我们最多只会访问一个格子一次。

在进行 BFS 转移过程中，我们需要根据当前连续步数 $k$ 进行分类讨论：

如果 $k < K$ ，我们只能从当前格子移动到相同字符的格子，然后 $k$ 增加 $1$ 。
如果 $k == K$ ，我们只能从当前格子移动到不同字符的格子，然后将 $k$ 重置为 $1$ 。

除此之外，所有步骤与普通的 BFS 算法相同，时间复杂度为 $O (nmk)$ 。

3. AC_Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1000000007;
const int N = 1010;int n, m, k;
bool st[N][N][11];
int dx[] = {0, 1, 0, -1};
int dy[] = {-1, 0, 1, 0};int main()
{ios_base ::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n >> m >> k;vector<string> s(n);for (int i = 0; i < n; ++i){cin >> s[i];}queue<array<int, 3>> q;q.push({0, 0, 1});st[0][0][1] = true;int ans = 0;while (q.size()){int size = q.size();while (size--){auto p = q.front();q.pop();int x = p[0], y = p[1];if (x == n - 1 && y == m - 1){cout << ans << '\n';return 0;}if (p[2] == k){for (int i = 0; i < 4; ++i){int a = x + dx[i], b = y + dy[i];if (a >= 0 && a < n && b >= 0 && b < m && s[a][b] != s[x][y] && !st[a][b][1]){st[a][b][1] = true;q.push({a, b, 1});}}}else{for (int i = 0; i < 4; ++i){int a = x + dx[i], b = y + dy[i];if (a >= 0 && a < n && b >= 0 && b < m && s[a][b] == s[x][y] && !st[a][b][p[2] + 1]){st[a][b][p[2] + 1] = true;q.push({a, b, p[2] + 1});}}}}ans++;}cout << -1 << '\n';return 0;
}

Java

import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner input = new Scanner(System.in);int N = 1010;int n = input.nextInt();int m = input.nextInt();int k = input.nextInt();boolean[][][] st = new boolean[N][N][11];int[] dx = {0, 1, 0, -1};int[] dy = {-1, 0, 1, 0};String[] s = new String[n];for (int i = 0; i < n; ++i) {s[i] = input.next();}Queue<int[]> q = new LinkedList<>();q.add(new int[]{0, 0, 1});st[0][0][1] = true;int ans = 0;while (!q.isEmpty()) {int size = q.size();while (size-- > 0) {int[] p = q.poll();int x = p[0], y = p[1];if (x == n - 1 && y == m - 1) {System.out.println(ans);return;}if (p[2] == k) {for (int i = 0; i < 4; ++i) {int a = x + dx[i], b = y + dy[i];if (a >= 0 && a < n && b >= 0 && b < m && s[a].charAt(b) != s[x].charAt(y) && !st[a][b][1]) {st[a][b][1] = true;q.add(new int[]{a, b, 1});}}} else {for (int i = 0; i < 4; ++i) {int a = x + dx[i], b = y + dy[i];if (a >= 0 && a < n && b >= 0 && b < m && s[a].charAt(b) == s[x].charAt(y) && !st[a][b][p[2] + 1]) {st[a][b][p[2] + 1] = true;q.add(new int[]{a, b, p[2] + 1});}}}}ans++;}System.out.println(-1);}
}

Python

def slove():n, m, k = map(int, input().split())s = []for _ in range(n):s.append(input())q = []q.append([0, 0, 1])st = [[[False] * 11 for _ in range(m)] for _ in range(n)]st[0][0][1] = Trueans = 0dx = [0, 1, 0, -1]dy = [-1, 0, 1, 0]while q:size = len(q)while size > 0:p = q.pop(0)size -= 1x, y = p[0], p[1]if x == n - 1 and y == m - 1:print(ans)returnif p[2] == k:for i in range(4):a, b = x + dx[i], y + dy[i]if 0 <= a < n and 0 <= b < m and s[a][b] != s[x][y] and not st[a][b][1]:st[a][b][1] = Trueq.append([a, b, 1])else:for i in range(4):a, b = x + dx[i], y + dy[i]if 0 <= a < n and 0 <= b < m and s[a][b] == s[x][y] and not st[a][b][p[2] + 1]:st[a][b][p[2] + 1] = Trueq.append([a, b, p[2] + 1])ans += 1print(-1)slove()