And Matching

传送门

You are given a set of $n$ ($n$ is always a power of $2$) elements containing all integers $0,1,2,\dots ,n-1$ exactly once.

Find $\frac{n}{2}$ pairs of elements such that:

• Each element in the set is in exactly one pair.
• The sum over all pairs of the bitwise AND of its elements must be exactly equal to $k$. Formally, if $a_i$ and $b_i$ are the elements of the $i$-th pair, then the following must hold:
  $${\Sigma }_{i=1}^{n/2}{a}_i\&b_i=k,$$
  where $\&$ denotes the bitwise AND operation.

If there are many solutions, print any of them, if there is no solution, print $-1$ instead.

Input

The input consists of multiple test cases. The first line contains a single integer $t$ ($1\le t\le 400$) — the number of test cases. Description of the test cases follows.

Each test case consists of a single line with two integers $n$ and $k$ ($4\le n\le 2^{16}$, $n$ is a power of $2$, $0\le k\le n-1$).

The sum of $n$ over all test cases does not exceed $2^{16}$. All test cases in each individual input will be pairwise different.

Output

For each test case, if there is no solution, print a single line with the integer $-1$.

Otherwise, print $\frac{n}{2}$ lines, the $i$-th of them must contain $a_i$ and $b_i$, the elements in the $i$-th pair.

If there are many solutions, print any of them. Print the pairs and the elements in the pairs in any order.

Example #1

Input #1

4
4 0
4 1
4 2
4 3

Output #1

0 3
1 2
0 2
1 3
0 1
2 3
-1

Note

In the first test, $(0\&3)+(1\&2)=0$.

In the second test, $(0\&2)+(1\&3)=1$.

In the third test, $(0\&1)+(2\&3)=2$.

In the fourth test, there is no solution.

题目翻译

给你一个由 $n$ （ $n$ 总是 $2$ 的幂次）元素组成的集合，其中包含所有整数 $0,1,2,\dots ,n-1$ 恰好一次。

请找出 $\frac{n}{2}$ 对元素，使得：

• 集合中的每个元素都正好在一对中。
• 所有元素对的 bitwise AND之和必须恰好等于 $k$ 。形式上，如果 $a_i$ 和 $b_i$ 是 $i$ -th 对中的元素，那么下面的条件必须成立：
  $${\Sigma }_{i=1}^{n/2}{a}_i\&b_i=k,$$
  其中 $\&$ 表示位操作 AND。

如果有多个解，则打印任意一个；如果没有解，则打印 $-1$ 。

输入格式

输入由多个测试用例组成。第一行包含一个整数 $t$ ( $1\le t\le 400$ ) - 测试用例的数量。测试用例说明如下。

每个测试用例由一行和两个整数 $n$ 和 $k$ （ $4\le n\le 2^{16}$ 、 $n$ 是 $2$ 、 $0\le k\le n-1$ 的幂次）组成。

所有测试用例的 $n$ 之和不超过 $2^{16}$ 。每个输入项中的所有测试用例都是成对不同的。

输出格式

对于每个测试用例，如果没有解决方案，则打印一行，其中包含整数 $-1$ 。

否则，打印 $\frac{n}{2}$ 行，其中 $i$ 行必须包含 $a_i$ 和 $b_i$ ，即 $i$ 对中的元素。

如果有多个解，则打印任意一个。按任意顺序打印解对和解对中的元素。

提示

在第一次测试中， $(0\&3)+(1\&2)=0$ 。

在第二次测试中， $(0\&2)+(1\&3)=1$ 。

第三次测试， $(0\&1)+(2\&3)=2$ 。

在第四次测试中，无解。

$以上来自CodeForces，翻译：DeepL$

解题思路

解这题需要的重要性质：

• $0\&k=0$；
• $k\&(n-1-k)=0$；
• $(n-1)\&k=k$。

其中 $n=2^x(x\in Z)$。

依据以上性质进行讨论：

• $n=4$ 且 $k=3$ 时，无解，输出 $-1$。
• 当 $k=0$：由性质 $1$ 可知，可将 $n$ 个数分成 $(0,n-1),(1,n-2),\dots ,(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2})$，这样每组按位与结果都是 $0$。
• 当 $0<k<n-1$：将 $k=0$ 的情况进行调整，使其中一组按位与得到 $k$，且保持其它所有组按位与结果为 $0$。
  由性质 $3$，可以让 $k$ 和 $n-1$ 放在一组使按位与结果是 $k$。这时对于 $k=0$ 时情况的分组，相当于拆掉了 $(0,n-1),(k,n-k-1)$ 两组。让 $k$ 和 $n-1$ 放在一组，那么 $0$ 和 $n-k-1$ 放在一起，根据性质 $1$，按位与结果正好是 $0$，其他保持不变。
• 当 $k=n-1$：按照情况 2 的方法，让 $k$ 和 $n-1$ 放在一组，但当 $k=n-1$ 时无效。这时考虑将 $k$ 拆成 $k-1$ 和 $1$，$n-1$ 和 $n-2$ 放在一组得到 $k-1$，$1$ 和一个奇数放在一起得到 $k-1$，也就是 $n-2$。
  依据情况 $1$ 的分组方法，若 $n-1$ 和 $n-2$ 放在一组，$1$ 和一个奇数放在一起，则拆掉了 $(0,n-1),(1,n-2)$ 两组。选取一个奇数与 $1$ 搭配，易想到用 $n-3$ 来搭配，这时 $0$ 与 $2$ 搭配。故最终结果：$(0,2),(1,n-3),(n-1,n-2),(3,n-4),\dots ,(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2})$。

最后，将这四种情况分别用代码实现，就是AC代码了。

AC Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n, k;
inline void solve();
inline void work() {int T;cin >> T;while (T--) {solve();}
}
signed main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);work();return 0;
}
inline void solve() {cin >> n >> k;if (n == 4 && k == 3) {cout << -1 << endl;return;}if (k == n - 1) {cout << n - 1 << " " << n - 2 << endl << 1 << " " << n - 3 << endl << 0 << " " << ((n - 3) ^ (n - 1)) << endl;for (int i = 3; i < n / 2; i++) {cout << i << " " << ((n - 1)^i) << endl;}} else {cout << n - 1 << " " << k << endl;if (k != 0) {cout << 0 << " " << ((n - 1)^k) << endl;}for (int i = 1; i < n / 2; i++) {if (i == k || i == ((n - 1)^k)) {continue;}cout << i << " " << ((n - 1)^i) << endl;}}
}//创作不易，你敢抄袭？！