第五部分、数组和广义表详解

数组和广义表，都用于存储逻辑关系为“一对一”的数据。

数组存储结构，99% 的编程语言都包含的存储结构，用于存储不可再分的单一数据；而广义表不同，它还可以存储子广义表。

本章重点从矩阵的角度讨论二维数组的存储，同时讲解广义表的存储结构以及有关其广度和深度的算法实现。

九、行逻辑链接的顺序表实现矩阵乘法（附带C语言完整代码）

矩阵相乘的前提条件是：乘号前的矩阵的列数要和乘号后的矩阵的行数相等。且矩阵的乘法运算没有交换律，即 A*B 和 B*A 是不一样的。

例如，矩阵 A：

矩阵 B：

由于矩阵 A 的列数和矩阵 B 的行数相等，可以进行 A*B 运算（不能进行 B*A 运算）。计算方法是：用矩阵A的第 i 行和矩阵B中的每一列 j 对应的数值做乘法运算，乘积一一相加，所得结果即为矩阵 C 中第 i 行第 j 列的值。

得到的乘积矩阵 C 为：

例如：C12 = 6 是因为：A11*B12 + A12*B22 + A13*B32 + A14*B42，即 3*2 + 0*0 + 0*4 + 5*0 = 6 ，因为这是 A 的第 1 行和 B 的第 2 列的乘积和，所以结果放在 C 的第 1 行第 2 列的位置。

例如，A是 m1*n1 矩阵，B是 m2*n2 矩阵(前提必须是 n1 == m2 )：

int C[MAX][MAX];

for (int i=0; i<m1;i++) {

        for (int j=0; j<n2; j++) {

                C[i][j]=0;

                for (int k=0; k<n1; k++) {

                        C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j];

                }

        }

}

普通算法的时间复杂度为。

在稀疏矩阵做乘法运算时，由于本身矩阵中含有的非 0 元素少，普通算法会出现很多 0*0 或者 k*0 或者 0*k （ k 代表非 0 元素值）的情况。下面介绍使用行逻辑链接的顺序表计算矩阵乘积的方法。

1、行逻辑链接的顺序表解决矩阵乘积算法

对矩阵的乘积进行深度剖析，矩阵 A 和矩阵 B 相乘的运算过程是这样的：

1. 首先，找到矩阵 A 中第一行的非 0 元素，分别是 A11 = 3和 A14 = 5；（由于行逻辑链接的顺序表中存储的都是非 0 元素，查找的过程就需要使用记录每行第一个非 0 元素的首地址的数组来完成）
2. 用 3 去和 B 中对应的第一行中的非 0 元素相乘，矩阵 B 中第一行非 0 元素是 B12 = 2，所以 3*2 = 6 ，因为 6 是 A11 和 B12 相乘的结果，所以暂时存放在 C12 中；用 5 去和 B 中对应的第 4 行的非 0 元素相乘，由于矩阵 B 中第 4 行没有非 0 元素，所以，第一行的计算结束；
3. 以此类推。

2、攻克问题难点

现在，解决问题的关键在于，如何知道顺序表中存放的非0元素是哪一行的呢？

解决方案：由于使用的是行逻辑链接的顺序表，所以，已经知道了每一个矩阵中的每一行有多少个非0元素，而且第一行的第一个非0元素的位置一定是1。

所以，第 n 行的非0元素的位置范围是：大于或等于第 n 行第一个元素的位置， 小于第 n+1 行第一个元素的位置（如果是矩阵的最后一行， 小于矩阵中非 0 元素的个数 + 1）。

3、具体实现代码

#include <stdio.h>
#define MAXSIZE 1200

#define MAXRC 100

#define ElemType int

typedef struct {    

        int i, j;//行，列    

        ElemType e;//元素值

}Triple;

typedef struct

{    

        Triple  data[MAXSIZE + 1];    

        int rpos[MAXRC + 1];//每行第一个非零元素在data数组中的位置    

        int mu, nu, tu;//行数，列数，元素个数

}RLSMatrix;

RLSMatrix MultSMatrix(RLSMatrix A, RLSMatrix B, RLSMatrix C)

{

        //如果矩阵A的列数与矩阵B的行数不等，则不能做矩阵乘运算    

        if (A.nu != B.mu)        

                return C;    

        C.mu = A.mu;    

        C.nu = B.nu;    

        C.tu = 0;    

        //如果其中任意矩阵的元素个数为零，做乘法元素没有意义，全是0    

        if (A.tu * B.tu == 0)        

                return C;    

        else    

        {        

                int arow;        

                int ccol;        

                //遍历矩阵A的每一行        

                for (arow = 1; arow <= A.mu; arow++)       

                {         

                        //创建一个临时存储乘积结果的数组，且初始化为0，遍历每次都需要清空                         int ctemp[MAXRC + 1];            

                        for (int i = 0; i < MAXRC + 1; i++) {                

                                ctemp[i] = 0;            

                        }            

                        C.rpos[arow] = C.tu + 1;            

                        //根据行数，在三元组表中找到该行所有的非0元素的位置            

                        int tp;            

                        if (arow < A.mu)                

                                tp = A.rpos[arow + 1];//获取矩阵A的下一行第一个非零元素在data数组中位置            

                        else                

                                tp = A.tu + 1;//若当前行是最后一行，则取最后一个元素+1            

                        int p;            

                        int brow;            

                        //遍历当前行的所有的非0元素            

                        for (p = A.rpos[arow]; p < tp; p++)            

                        {                

                                brow = A.data[p].j;//取该非0元素的列数，便于去B中找对应的做乘积的非0元素                

                                int t;                

                                // 判断如果对于A中非0元素，找到矩阵B中做乘法的那一行中的所有的非0元素                

                                if (brow < B.mu)                    

                                        t = B.rpos[brow + 1];                

                                else                    

                                        t = B.tu + 1;                

                                int q;                

                                //遍历找到的对应的非0元素，开始做乘积运算                

                                for (q = B.rpos[brow]; q < t; q++)      

                                {                    

                                        //得到的乘积结果，每次和ctemp数组中相应位置的数值做加和运算 

                                        ccol = B.data[q].j;                    

                                        ctemp[ccol] += A.data[p].e * B.data[q].e;                

                                }            

                        }            

                        //矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数，所以，得到的ctemp存储的结果，也会在C的列数的范围内            

                        for (ccol = 1; ccol <= C.nu; ccol++)            

                        {                

                                //由于结果可以是0，而0不需要存储，所以在这里需要判断                

                                if (ctemp[ccol])                

                                {                    

                                        //不为0，则记录矩阵中非0元素的个数的变量tu要+1；且该值不能超过存放三元素数组的空间大小                    

                                        if (++C.tu > MAXSIZE)                        

                                                return C;                    

                                        else {                        

                                                C.data[C.tu].e = ctemp[ccol];                        

                                                C.data[C.tu].i = arow;                        

                                                C.data[C.tu].j = ccol;                    

                                        }                

                                }            

                        }        

                }        

                return C;    

        }

}

int main(int argc, char* argv[])

{    

        RLSMatrix M, N, T;    

        M.tu = 4;    

        M.mu = 3;    

        M.nu = 4;    

        M.rpos[1] = 1;    

        M.rpos[2] = 3;    

        M.rpos[3] = 4;    

        M.data[1].e = 3;    

        M.data[1].i = 1;    

        M.data[1].j = 1;    

        M.data[2].e = 5;    

        M.data[2].i = 1;    

        M.data[2].j = 4;    

        M.data[3].e = -1;    

        M.data[3].i = 2;    

        M.data[3].j = 2;    

        M.data[4].e = 2;    

        M.data[4].i = 3;    

        M.data[4].j = 1;    

        N.tu = 4;    

        N.mu = 4;    

        N.nu = 2;    

        N.rpos[1] = 1;    

        N.rpos[2] = 2;    

        N.rpos[3] = 3;    

        N.rpos[4] = 5;    

        N.data[1].e = 2;    

        N.data[1].i = 1;    

        N.data[1].j = 2;    

        N.data[2].e = 1;    

        N.data[2].i = 2;    

        N.data[2].j = 1;    

        N.data[3].e = -2;    

        N.data[3].i = 3;    

        N.data[3].j = 1;    

        N.data[4].e = 4;    

        N.data[4].i = 3;    

        N.data[4].j = 2;    

        T = MultSMatrix(M, N, T);        

        for (int i = 1; i <= T.tu; i++) {        

                printf("(%d,%d,%d)\n", T.data[i].i, T.data[i].j, T.data[i].e);    

        }    

        return 0;

}

      

输出结果：

(1,2,6)
(2,1,-1)
(3,2,4)

4、总结

当稀疏矩阵  和稀疏矩阵 采用行逻辑链接的顺序表做乘法运算时，在矩阵 A 的列数（矩阵 B 的行数） n 不是很大的情况下，算法的时间复杂度相当于O(m*p)，比普通算法要快很多。​​​​​​​

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十、十字链表实现矩阵加法（附带C语言实现代码）

矩阵之间能够进行加法运算的前提条件是：各矩阵的行数和列数必须相等。

在行数和列数都相等的情况下，矩阵相加的结果就是矩阵中对应位置的值相加所组成的矩阵，例如：

图 1 矩阵相加

1、十字链表法

之前所介绍的都是采用顺序存储结构存储三元组，在类似于矩阵的加法运算中，矩阵中的数据元素变化较大（这里的变化主要为：非0元素变为0，0变为非0元素），就需要考虑采用另一种结构——链式存储结构来存储三元组。

采用链式存储结构存储稀疏矩阵三元组的方法，称为“十字链表法”。

2、十字链表法表示矩阵

例如，用十字链表法表示矩阵 A ，为：  

图 2 矩阵用十字链表法表示

由此可见，采用十字链表表示矩阵时，矩阵的每一行和每一个列都可以看作是一个单独的链表，而之所以能够表示矩阵，是因为行链表和列链表都分别存储在各自的数组中

图 2 中：存储行链表的数组称为 rhead 数组；存储列链表的数组称为 chead 数组。

3、十字链表中的结点

从图2中的十字链表表示矩阵的例子可以看到，十字链表中的结点由 5 部分组成：

图 3 十字链表中的结点

指针域A存储的是矩阵中结点所在列的下一个结点的地址（称为 “down域”）；
指针域B存储的是矩阵中该结点所在行的下一个结点的地址（称为 “right域”）；

用结构体自定义表示为：

typedef struct OLNode

{

        int i,j,e; //矩阵三元组 i 代表行 j 代表列 e 代表当前位置的数据

        struct OLNode *right,*down; //指针域 右指针 下指针

}OLNode,*OLink;

4、十字链表的结构

使用十字链表表示一个完整的矩阵，在了解矩阵中各结点的结构外，还需要存储矩阵的行数、列数以及非 0 元素的个数，另外，还需要将各结点链接成的链表存储在数组中。

所以，采用结构体自定义十字链表的结构，为：

typedef struct

{

         OLink *rhead,*chead; //存放各行和列链表头指针的数组

         int mu,nu,tu; //矩阵的行数,列数和非零元的个数

}CrossList;

5、十字链表存储矩阵三元组

由于三元组存储的是该数据元素的行标、列标和数值，所以，通过行标和列标，就能在十字链表中唯一确定一个位置。

判断方法为：在同一行中通过列标来判断位置；在同一列中通过行标来判断位置。

首先判断该数据元素 A（例如三元组为：（i，j，k））所在行的具体位置：

• 如果 A 的列标 j 值比该行第一个非 0 元素 B 的 j 值小，说明该数据元素在元素 B 的左侧，这时 A 就成为了该行第一个非0元素（也适用于当该行没有非 0 元素的情况，可以一并讨论）
• 如果 A 的列标 j 比该行第一个非 0 元素 B 的 j 值大，说明 A 在 B 的右侧，这时，就需要遍历该行链表，找到插入位置的前一个结点，进行插入。

对应行链表的位置确定之后，判断数据元素 A 在对应列的位置：

• 如果 A 的行标比该列第一个非 0 元素 B 的行标 i 值还小，说明 A 在 B 的上边，这时 A 就成了该列第一个非 0 元素。（也适用于该列没有非 0 元素的情况）
• 反之，说明 A 在 B 的下边，这时就需要遍历该列链表，找到要插入位置的上一个数据元素，进行插入。

实现代码：

//创建系数矩阵M,采用十字链表存储表示

CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M)

{

        int m,n,t;

        int i,j,e;

        OLNode *p,*q;//定义辅助变量

        scanf("%d%d%d",&m,&n,&t); //输入矩阵的行列及非零元的数量

        //初始化矩阵的行列及非零元的数量

        M.mu=m;

        M.nu=n;

        M.tu=t;

        if(!(M.rhead=(OLink*)malloc((m+1)*sizeof(OLink)))||!(M.chead=(OLink*)malloc((n+1)*sizeof(OLink))))

        {

                printf("初始化矩阵失败");

                exit(0); //初始化矩阵的行列链表

        }

        for(i=1;i<=m;i++)

        {

                M.rhead[i]=NULL; //初始化行

        }

        for(j=1;j<=n;j++)

        {

                M.chead[j]=NULL; //初始化列

        }

        for(scanf("%d%d%d",&i,&j,&e);0!=i;scanf("%d%d%d",&i,&j,&e)) //输入三元组 直到行为0结束

        {

                if(!(p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode))))

                {

                        printf("初始化三元组失败");

                        exit(0); //动态生成p

                }

                p->i=i;

                p->j=j;

                p->e=e; //初始化p

                if(NULL==M.rhead[i]||M.rhead[i]->j>j)

                {

                        p->right=M.rhead[i];

                        M.rhead[i]=p;

                }

                else

                {

                        for(q=M.rhead[i];(q->right)&&q->right->j<j;q=q->right);

                        p->right=q->right;

                        q->right=p;

                }

        if(NULL==M.chead[j]||M.chead[j]->i>i)

        {

                p->down=M.chead[j];

                M.chead[j]=p;

        }

        else

        {

                for (q=M.chead[j];(q->down)&& q->down->i<i;q=q->down);

                        p->down=q->down;

                        q->down=p;

                }

        }

        return M;

}

6、十字链表解决矩阵相加问题

在解决 “将矩阵 B 加到矩阵 A ” 的问题时，由于采用的是十字链表法存储矩阵的三元组，所以在相加的过程中，针对矩阵 B 中每一个非 0 元素，需要判断在矩阵 A 中相对应的位置，有三种情况：

1. 提取到的 B 中的三元组在 A 相应位置上没有非 0 元素，此时直接加到矩阵 A 该行链表的对应位置上；
2. 提取到的 B 中三元组在 A 相应位置上有非 0 元素，且相加不为 0 ，此时只需要更改 A 中对应位置上的三元组的值即可；
3. 提取到的 B 中三元组在 A 响应位置上有非 0 元素，但相加为 0 ，此时需要删除矩阵 A 中对应结点。

提示：算法中，只需要逐个提取矩阵 B 中的非 0 元素，然后判断矩阵 A 中对应位置上是否有非 0 元素，根据不同的情况，相应作出处理。

设指针 pa 和 pb 分别表示矩阵 A 和矩阵 B 中同一行中的结点（ pb 和 pa 都是从两矩阵的第一行的第一个非0元素开始遍历），以上 3 种情况还可以细分为以下几种场景：

1. 当 pa==NULL 时，表明当前行（列）没有非 0 元素，此时可以直接将 pb 结点添加到当前行（列）中；
2. 当 pa 结点的列值 j < pb 结点的列值 j 时，表明 pb 结点的位置相对靠后，此时需要从 pa 结点处向后查找，找到第一个比 pb 结点列值 j 大的结点，将 pb 插入到该结点前面；
3. 当 pb 结点的列值 j > pb 结点的列值 j 时，和第 2 种情况类似，将 pb 结点插入到 pa 结点的前面；
4. 当 pa 的列值 j == pb 的列值 j， 且两结点的值相加结果不为 0 ，只需要更改 pa 指向的结点的值即可；
5. 当 pa 的列值 j == pb 的列值 j ，但是两结点的值相加结果为 0 ，就需要从矩阵 A 的十字链表中删除 pa 指向的结点。

实现代码：

//实现 N 和 M 两个矩阵相加

CrossList AddSMatrix(CrossList M, CrossList N) {

        OLink p, q;

        int k = 1;

        //遍历 N 矩阵中的每一列

        for (; k <= N.mu; k++) {

                p = N.rhead[k];

                //提取当前列中的每个非 0 元素，调用 insertToMatrix() 函数将其添加到 M 矩阵中

                while (p)

                {

                        q = (OLink)malloc(sizeof(OLNode));

                        q->i = p->i;

                        q->j = p->j;

                        q->e = p->e;

                        q->down = NULL;

                        q->right = NULL;

                        //将 q 结点添加到 M 矩阵中

                        M = insertToMatrix(M, q);

                        p = p->right;

                }

        }

        return M;

}

//实现将指定 p 结点添加到 M 矩阵中

CrossList insertToMatrix(CrossList M, OLink p) {

        int i = p->i, j = p->j;

        //de标记是否需要删除结点（1 表示删除结点，0表示不删除），pl标记是否需要添加结点（1表示不添加结点，0表示添加）

        int de = 0, pl = 0;

        //从行的角度将 p 结点链接到 M 矩阵的适当位置

        //第 1 种场景，如果当前行没有非 0 元素，直接将 p 结点链接到对应的行。

        if (M.rhead[i] == NULL)

        {

                M.rhead[i] = p;

                M.tu++;

        }

        //当前行有非 0 元素

        else

        {

                OLink q = M.rhead[i];

                OLink pre = q;

                //解决第 2 种情况

                while (q && (q->j < p->j))//用两个指针找到该元素块应该插到那个位置

                {

                        pre = q;

                        q = q->right;

                }

                //解决第4、5 种情况

                if (q != NULL && (q->j == p->j))

                {

                        q->e += p->e;

                        if (q->e == 0)

                        {

                                if (pre == q)

                                        M.rhead[i] = q->right;

                                else

                                         pre->right = q->right;

                                M.tu--;

                                //需要删除结点，但不是现在删除，而是等到处理完列链表之后再删除

                                de = 1;

                        }

                        else

                                //不需要添加新的结点

                                pl = 1;

                }

                //对需要添加新结点的情况（第 2 和第 3 种情况）

                if (de == 0 && pl == 0)

                {

                        //直接将 p 添加到行链表头

                        if (pre == q)

                        {

                                M.rhead[i] = p;

                                p->right = q;

                        }

                        else

                        {

                                //将 p 添加到 pre 之后

                                pre->right = p; p->right = q;

                        }

                        M.tu++;

                }

        }

        //从列的角度实现将 p 添加到 M 矩阵中

        //解决第 1 种情况

        if (M.chead[j] == NULL)

                 M.chead[j] = p;//列的插入与行类似

        else {

                OLink q = M.chead[j];

                OLink pre = q;

                //解决第 2 种情况

                while (q && (q->i < p->i))

                {

                        pre = q;

                        q = q->down;

                }

                //当需要删除结点时，将 q 结点从列链表中摘除，然后释放 q 和 p

                if (de == 1)

                {

                        if (q != NULL)

                        {

                                if (pre == q)

                                        M.chead[j] = q->down;

                                else

                                        pre->down = q->down;

                                free(q);

                                free(p);//如果AB对应元素相加为0，将这个元素从链表中删除后再free掉

                                return M;

                        }

                }

                //当需要添加结点时（第 1、2、3种情况），将新结点链接到对应的列链表中

                if (pl == 0)

                {

                        if (pre == q)

                        {

                                M.chead[j] = p;

                                p->down = q;

                        }

                        else

                        {

                                pre->down = p;

                                p->down = q;

                        }

                }

        }

        return M;

}

7、完整代码演示

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

typedef struct OLNode

{

        int i, j, e; //矩阵三元组i代表行 j代表列 e代表当前位置的数据

        struct OLNode* right, * down; //指针域 右指针 下指针

}OLNode, * OLink;

typedef struct

{

        OLink* rhead, * chead; //行和列链表头指针

        int mu, nu, tu; //矩阵的行数,列数和非零元的个数

}CrossList;

CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M);

//实现 N+M

CrossList AddSMatrix(CrossList M, CrossList N);

//将 q 结点添加到 M 矩阵中

CrossList insertToMatrix(CrossList M, OLink q);

//输出 M 矩阵每一列中的非 0 元素

void displayL(CrossList M);

//输出 M 矩阵每一行中的非 0 元素

void displayR(CrossList M);

int main()

{

        CrossList M, N;

        M.rhead = NULL;

        M.chead = NULL;

        N.rhead = NULL;

        N.chead = NULL;

        printf("输入测试矩阵M:\n");

        M = CreateMatrix_OL(M);

        printf("输入测试矩阵N:\n");

        N = CreateMatrix_OL(N);

        //调用 addSMatrix() 函数实现 N+M

        M = AddSMatrix(M, N);

        printf("矩阵相加的结果为:\n");

        displayR(M);

        //displayL(M);

        return 0;

}

//创建系数矩阵M,采用十字链表存储表示

CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M)

{

        int m, n, t;

        int i, j, e;

        OLNode* p, * q;//定义辅助变量

        scanf("%d%d%d", &m, &n, &t);//输入矩阵的行列及非零元的数量

        //初始化矩阵的行列及非零元的数量

        M.mu = m;

        M.nu = n;

        M.tu = t;

        if (!(M.rhead = (OLink*)malloc((m + 1) * sizeof(OLink))) || !(M.chead = (OLink*)malloc((n + 1) * sizeof(OLink))))

        {

                printf("初始化矩阵失败");

                exit(0); //初始化矩阵的行列链表

        }

        for (i = 1; i <= m; i++)

        {

                M.rhead[i] = NULL; //初始化行

        }

        for (j = 1; j <= n; j++)

        {

                M.chead[j] = NULL; //初始化列

        }

        for (scanf("%d%d%d", &i, &j, &e); 0 != i; scanf("%d%d%d", &i, &j, &e)) //输入三元组 直到行为0结束

        {

                if (!(p = (OLNode*)malloc(sizeof(OLNode))))

                {

                        printf("初始化三元组失败");

                        exit(0); //动态生成p

                }

                p->i = i;

                p->j = j;

                p->e = e; //初始化p

                if (NULL == M.rhead[i] || M.rhead[i]->j > j)

                {

                        p->right = M.rhead[i];

                        M.rhead[i] = p;

                }

                else

                {

                        for (q = M.rhead[i]; (q->right) && q->right->j < j; q = q->right);

                        p->right = q->right;

                        q->right = p;

                }

                if (NULL == M.chead[j] || M.chead[j]->i > i)

                {

                        p->down = M.chead[j];

                        M.chead[j] = p;

                }

                else

                {

                        for (q = M.chead[j]; (q->down) && q->down->i < i; q = q->down);

                        p->down = q->down;

                        q->down = p;

                }

        }

        return M;

}

//实现 N 和 M 两个矩阵相加

CrossList AddSMatrix(CrossList M, CrossList N) {

        OLink p, q;

        int k = 1;

        //遍历 N 矩阵中的每一列

        for (; k <= N.mu; k++) {

                p = N.rhead[k];

                //提取当前列中的每个非 0 元素，调用 insertToMatrix() 函数将其添加到 M 矩阵中

                while (p)

                {

                        q = (OLink)malloc(sizeof(OLNode));

                        q->i = p->i;

                        q->j = p->j;

                        q->e = p->e;

                        q->down = NULL;

                        q->right = NULL;

                        //将 q 结点添加到 M 矩阵中

                        M = insertToMatrix(M, q);

                        p = p->right;

                }

        }

        return M;

}

//实现将指定 p 结点添加到 M 矩阵中

CrossList insertToMatrix(CrossList M, OLink p) {

        int i = p->i, j = p->j;

        //de标记是否需要删除结点（1 表示删除结点，0表示不删除），pl标记是否需要添加结点（1表示不添加结点，0表示添加）

        int de = 0, pl = 0;

        //从行的角度将 p 结点链接到 M 矩阵的适当位置

        //第 1 种场景，如果当前行没有非 0 元素，直接将 p 结点链接到对应的行。

        if (M.rhead[i] == NULL)

        {

                M.rhead[i] = p;

                M.tu++;

        }

        //当前行有非 0 元素

        else

        {

                OLink q = M.rhead[i];

                OLink pre = q;

                //解决第 2 种情况

                while (q && (q->j < p->j))//用两个指针找到该元素块应该插到那个位置

                {

                        pre = q;

                        q = q->right;

                }

                //解决第4、5 种情况

                if (q != NULL && (q->j == p->j))

                {

                        q->e += p->e;

                        if (q->e == 0)

                        {

                                if (pre == q)

                                        M.rhead[i] = q->right;

                                else

                                        pre->right = q->right;

                                M.tu--;

                                //需要删除结点，但不是现在删除，而是等到处理完列链表之后再删除

                                de = 1;

                        }

                        else

                                //不需要添加新的结点

                                pl = 1;

                }

                //对需要添加新结点的情况（第 2 和第 3 种情况）

                if (de == 0 && pl == 0)

                {

                        //直接将 p 添加到行链表头

                        if (pre == q)

                        {

                                M.rhead[i] = p;

                                p->right = q;

                        }

                        else

                        {

                                //将 p 添加到 pre 之后

                                pre->right = p;

                                p->right = q;

                        }

                        M.tu++;

                }

        }

        //从列的角度实现将 p 添加到 M 矩阵中

        //解决第 1 种情况

        if (M.chead[j] == NULL)

                M.chead[j] = p;//列的插入与行类似

        else {

                OLink q = M.chead[j];

                OLink pre = q;

                //解决第 2 种情况

                while (q && (q->i < p->i))

                {

                        pre = q;

                        q = q->down;

                }

                //当需要删除结点时，将 q 结点从列链表中摘除，然后释放 q 和 p

                if (de == 1)

                {

                        if (q != NULL)

                        {

                                if (pre == q)

                                        M.chead[j] = q->down;

                                else

                                        pre->down = q->down;

                                free(q);

                                free(p);//如果AB对应元素相加为0，将这个元素从链表中删除后再free掉

                                return M;

                        }

                }

                //当需要添加结点时（第 1、2、3种情况），将新结点链接到对应的列链表中

                if (pl == 0)

                {

                        if (pre == q)

                        {

                                M.chead[j] = p;

                                p->down = q;

                        }

                        else

                        {

                                pre->down = p;

                                p->down = q;

                        }

                }

        }

        return M;

}

void displayL(CrossList M) {

        int i;

        printf("---------------------\ni\tj\te\n---------------------\n");

        for (i = 1; i <= M.nu; i++)

        {

                if (NULL != M.chead[i])

                {

                        OLink p = M.chead[i];

                        while (NULL != p)

                        {

                                printf("%d\t%d\t%d\n", p->i, p->j, p->e);

                                p = p->down;

                        }

                }

        }

}

void displayR(CrossList M) {

        int i;

        printf("---------------------\ni\tj\te\n---------------------\n");

        for (i = 1; i <= M.mu; i++)

        {

                if (NULL != M.rhead[i])

                {

                        OLink p = M.rhead[i];

                        while (NULL != p)

                        {

                                printf("%d\t%d\t%d\n", p->i, p->j, p->e);

                                p = p->right;

                        }

                }

        }

}

运行结果：

输入测试矩阵M:
3 3 3
1 2 1
2 1 1
3 3 1
0 0 0
输入测试矩阵N:
3 3 4
1 2 -1
1 3 1
2 3 1
3 1 1
0 0 0
矩阵相加的结果为:
---------------------
i       j       e
---------------------
1       3       1
2       1       1
2       3       1
3       1       1
3       3       1

8、总结

使用十字链表法解决稀疏矩阵的压缩存储的同时，在解决矩阵相加的问题中，对于某个单独的结点来说，算法的时间复杂度为一个常数（全部为选择结构），算法的整体的时间复杂度取决于两矩阵中非 0 元素的个数。