1148. 秘密的牛奶运输 - AcWing题库

农夫约翰要把他的牛奶运输到各个销售点。

运输过程中，可以先把牛奶运输到一些销售点，再由这些销售点分别运输到其他销售点。

运输的总距离越小，运输的成本也就越低。

低成本的运输是农夫约翰所希望的。

不过，他并不想让他的竞争对手知道他具体的运输方案，所以他希望采用费用第二小的运输方案而不是最小的。

现在请你帮忙找到该运输方案。

注意：：

• 如果两个方案至少有一条边不同，则我们认为是不同方案；
• 费用第二小的方案在数值上一定要严格大于费用最小的方案；
• 答案保证一定有解；

输入格式

第一行是两个整数 N,M，表示销售点数和交通线路数；

接下来 M 行每行 3 个整数 x,y,z，表示销售点 x 和销售点 y 之间存在线路，长度为 z。

输出格式

输出费用第二小的运输方案的运输总距离。

数据范围

1≤N≤500,
1≤M≤104,
1≤z≤109,
数据中可能包含重边。

输入样例：

4 4
1 2 100
2 4 200
2 3 250
3 4 100

输出样例：

450

解析： 

题目要求求一棵次小生成树。

具体操作：

1.求最小生成树，统计标记每条边时树边，还是非树边；同时把最小生成树建出来。

2.预处理最小生成树上任意两点间的边权最大值dist[a][b]

3.依次枚举所有非树边，求min(sum+w-dist[a][b]),满足w>dist[a][b]。

O（mlogm+n^2）

为什么要求出次大距离，只求最大距离不可以吗？

在算法中，求解每个点到其它点的最大距离和次大距离的目的是为了在后续遍历不在最小生成树中的边时，能够利用这些信息进行计算，找到替换权值最小的边。

具体来说，对于一条边 (a, b, w)，假设 a 和 b 已经在最小生成树中，而当前边 (a, b, w) 不在最小生成树中。我们可以分两种情况讨论：

1. 如果 w 大于 a 到 b 的最大距离，那么替换后的生成树权值为当前生成树的总权值加上 w 减去 a 到 b 的最大距离，因为 w 大于最大距离，所以替换后生成树的总权值会减小。

2. 如果 w 大于 a 到 b 的次大距离，那么替换后的生成树权值为当前生成树的总权值加上 w 减去 a 到 b 的次大距离，同样因为 w 大于次大距离，所以替换后生成树的总权值会减小。

所以，为了确保找到替换权值最小的边，需要同时计算每个点到其它点的最大距离和次大距离。这样在遍历不在最小生成树中的边时，可以根据这些信息选择合适的边进行替换，以得到次小生成树的权值。

#include<iostream>
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#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
#include<sstream>
#include<deque>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 505, M = 2e4 + 5;
int n, m;
struct Edge {int a, b, c;bool f;bool operator<(const Edge& t)const {return c < t.c;}
}edge[M];
int dist1[N][N], dist2[N][N];
int fa[N];
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;void add(int a, int b, int c) {e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}int find(int a) {if (fa[a] == a)return a;return fa[a] = find(fa[a]);
}void dfs(int u, int f, int mx1, int mx2, int d1[], int d2[]) {d1[u] = mx1, d2[u] = mx2;for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {int j = e[i];if (j != f) {int t1 = mx1, t2 = mx2;if (mx1 < w[i]) {t2 = t1, t1 = w[i];}else if (mx2 < w[i] && w[i] < mx1) {t2 = w[i];}dfs(j, u, t1, t2, d1, d2);}}
}int main() {cin >> n >> m;memset(h, -1, sizeof h);for (int i = 1, a, b, c; i <= m; i++) {scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);edge[i] = { a,b,c };}for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;sort(edge + 1, edge + 1 + m);LL sum = 0;for (int i = 1; i <= m; i++) {int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;int pa = find(edge[i].a), pb = find(edge[i].b);if (pa != pb) {sum += c;fa[pa] = pb;add(a, b, c), add(b, a, c);edge[i].f = 1;}}for (int i = 1; i <= n; i++) dfs(i, -1, -1e9, -1e9, dist1[i], dist2[i]);LL ret = 1e18;for (int i = 1; i <= m; i++) {if (!edge[i].f) {int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;LL t;if (c > dist1[a][b]) {t = sum + c - dist1[a][b];}else if (c > dist2[a][b]) {t = sum + c - dist2[a][b];}ret = min(ret, t);}}cout << ret << endl;return 0;
}