[信号与系统系列] 复指数信号

正弦信号的向量表示

正弦信号由幅值、频率和初相位三个要素确定。由于在线性正弦稳态电路中,各处的电流和电压都是正弦信号,并且它们的角频率与正弦的角频率相同,因此,在进行正弦稳态电路分析时,对于正弦信号的幅值和初相位,是我们最为关心的两个要素。而对于一个复数可以由模和辐角来确定,例如一个复数Im∠θi ,令这个复数在复平面上以角速度ω逆时针旋转,如下图a所示,在任何时刻,这个复数在虚轴上的投影等于Imsin(ωt + θi ),如下图b所示,这正好是用正弦函数表示的正弦电流i。

 Im∠θi与正弦电流i=Imsin(ωt + θi )有一种相互对应的关系,因此可用复数Im∠θi来表示正弦电流i。

特别注意的是,正弦信号是时间的实函数,并非矢量或复数量,所以,相量不等于正弦信号。但是,它们之间有相互对应关系。那么对应的实际数学关系是什么呢???

复指数信号

复指数信号定义为:

信号是t的复函数,其幅值总是恒定的,即,其角度,使用欧拉公式,复指数信号可以用笛卡儿形式表示为:

绘制复信号关于时间的波形图需要绘制两个图:一个用于实部,另一个用于虚部。这个复指数信号的实部和虚部都是实正弦信号,他们的相位只有0.5πrad的相移。

我们对复指数信号感兴趣的主要原因是,它是实余弦信号的另一种表示方法,因为我们总是可以将实信号写成:

这里,我们理清楚了正弦信号与复指数信号的表示关系,那么更深一步地,正弦信号可以用复指数信号合成吗?

逆欧拉公式

先摆出来欧拉公式:

在这里插入图片描述

逆欧拉公式用复指数来表示余弦函数:

同时正弦函数也能表示为:

那么,可以用正频率和负频率复指数来得到:



这里和上一小节的公式是不是不谋而合了?

这个公式有个有趣的解释,实余弦信号实际上是两个复指数信号的合成,一个有正频率而另一个有负频率;正频复指数信号的复振幅是0.5X,负频复指数信号的复振幅是0.5X*。也就是说,实余弦信号能够表示成两个互为负共轭的旋转复振幅矢量的和。

 

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