AVL树底层实现

AVL树简介

AVL树节点定义编辑

AVL树特性

AVL树的建立

AVL树的插入

AVL树的旋转

验证AVL树

AVL树的实现（代码部分）

AVL树简介

AVL树是对二叉搜索树的改进，二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

AVL树是由两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明，A、V、L是他们名的首字母。

AVL树节点定义

相对于普通搜索二叉树，多了 parent 和 _bf 这两个成员变量，_bf 为平衡因子，_parent为指向父节点的指针，利用_parent 这个指针可以更方便的修改平衡因子、旋转AVL树

AVL树特性

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如图，每个节点都多存一个整形的平衡因子，需要保持任一节点的平衡因子（右子树高度 - 左子树高度）绝对值不超过1，每次插入节点后都要更新节点的平衡因子（循环更新），如果平衡因子的绝对值大于1的话，就要进行“旋转”。

AVL树的建立

AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

调正平衡因子：右子树插入新节点，父节点平衡因子加1；左子树插入新节点，父节点平衡因子加1。并且要向上更新，直到出现父节点平衡因子等于0（调正结束）或者父节点平衡因子等于2/-2（平衡因子出错，需要调正）

更新后父节点 bf（平衡因子）

== 0 不用向上更新，插入结束

== 1/-1 子树变高了，必须向上更新

== 2/-2 子树违反规则，需调正（旋转）处理

AVL树的旋转

AVL树的旋转一共有四种，分别是左单旋、右单旋、右左双旋、左右双旋

左单旋：新节点插入较高右子树的右侧 ————右右：左单旋
右单旋：新节点插入较高左子树的左侧 ————左左：右单旋
右左双旋：新节点插入较高右子树的左侧 ————右左：右左双旋
左右双旋：新节点插入较高左子树的右侧 ————左右：左右双旋

右左双旋

规律如下：“左子树和左边的结合，右子树和右边的结合，自己变成父节点放上去”

左右双旋

规律依然是：“左子树和左边的结合，右子树和右边的结合，自己变成父节点放上去”。

验证AVL树

当你写了一个AVL树，如何验证他对不对呢？需要把握两个点

1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树（AVL树）

每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
节点的平衡因子是否计算正确

每个节点的左右子树都是AVL树，要使用递归 + && 来确保这些节点左右子树的高度差和平衡因子都符合要求！（具体实现在代码部分）

AVL树的实现（代码部分）

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv): _right(nullptr), _left(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0), _kv(kv){}AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf;
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> AVLNode;
public:int Height(AVLNode* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}bool _IsAVLTree(AVLNode* root){if (root == nullptr) return true;int Height1 = Height(root->_left);int Height2 = Height(root->_right);int diff = Height2 - Height1;if (diff != root->_bf){cout << root->_kv.first << " 平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsAVLTree(root->_left)&& _IsAVLTree(root->_right)&& abs(diff) < 2;}bool IsAVLTree(){return _IsAVLTree(_root);}void Order(){_Order(_root);cout << endl;}void _Order(AVLNode* root){if (root == nullptr)return;_Order(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_Order(root->_right);}bool Insert(const pair<K, V>& kv){// 首次插入，树为空的情况if (_root == nullptr){_root = new AVLNode(kv);return true;}AVLNode* parent = nullptr; //记录父节点AVLNode* cur = _root;// 开始遍历while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;// 不能找到！找到说明已经有 key 了，插入失败}}// 运行到此处，即将要插入的位置cur = new AVLNode(kv);// 调整 cur 和 parent 的一些指针if (parent->_kv.first > kv.first) // 使用 parent->_kv.first 与 kv.first的比较{parent->_left = cur;}else if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;// 判断更新后父亲结点的大小// cur原本为新增节点  但是根据逐步更新父节点 parent，它会一直是成为 parent 的子节点while (parent){if (cur == parent->_right)// 插入节点在右边{parent->_bf++;}else if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}if (parent->_bf == 0){// 等于0，说明不用往上更新了，恰好父亲的两边一样高了break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//说明高度增加了（是从0变为了1或者-1）cur = parent;parent = parent->_parent;// 向上更新一步}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) // 原来平衡因子等于 1 的节点的右子树插入了一个 或者原来平衡因子等于 -1 的节点左子树插入了一个{// 违反规则了，需要旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){// 1、新节点插入较高右子树的右侧———— 右右 左单旋RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){// 2、新节点插入较高左子树的左侧———— 左左 右单旋RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){// 3、新节点插入较高右子树的左侧———— 右左 右左双旋  先右旋再左旋RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){// 4、新节点插入较高左子树的右侧———— 左右 左右双旋  先左旋再右旋RotateLR(parent);}break;}else{assert(false);}}return true;}void RotateLR(AVLNode* parent){AVLNode* subL = parent->_left;AVLNode* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(subL);RotateR(parent);if (bf == 0)// 自己是新增节点{subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1) // subL 左子树有新增节点{subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1) // subL 右子树有新增节点{subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}}void RotateRL(AVLNode* parent){AVLNode* subR = parent->_right;AVLNode* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);if (bf == 0)  //subRL 自己就是新增节点{subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1) // subRL 右子树有新增节点{subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1)// subRL 左子树有新增节点{subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}}void RotateR(AVLNode* parent){AVLNode* subL = parent->_left;AVLNode* subLR = subL->_right;AVLNode* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;if (parent == _root){_root = subL;subL-> _parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subL;}else if (parentParent->_right == parent){parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}subL->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateL(AVLNode* parent){AVLNode* subR = parent->_right;AVLNode* subRL = subR->_left;AVLNode* parentParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (subRL)subRL->_parent = parent;parent->_right = subRL;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{// 先找到 parent 是父亲的左子树还是右子树if (parentParent->_left == parent) // 左子树{parentParent->_left = subR;}else if (parentParent->_right == parent) // 右子树{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}
private:AVLNode* _root = nullptr;
};