整除的特征及解释

整除的含义

简单地说，当一个非零整数除另一个整数得到整数商而没有余数时，叫做整除。如6÷2＝3，就说2整除6或6能被2整除。

用数学语言描述：若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零，b为被除数，a为除数，也就是b÷a＝n……0 （a、b、n是整数，且a≠0），读作“a整除b”或“b能被a整除”，记作a|b，其中“|”是整除符号。a叫做b的约数（或因数），b叫做a的倍数。

整除属于除尽的一种特殊情况。

整除与除尽既有区别又有联系。除尽是指数b除以数a（a≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，b能被a除尽（或说a能除尽b）。因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零。除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。

顺便提示：注意区分“除”和“除以”：

b÷a读作“a除b”或“b除以a”

除以是被除数在前，除数在后。

除是除数在前，被除数在后。

一个数能被3或9整除的特征

如果一个数的各个位的和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除。

现在来看看为什么？

解释一、对于任何整数，我们可以将其表示为每个位上的数乘以其对应的10的幂之和。以一个四位数解释，一个四位数ABCD可以表示为：

ABCD = 1000 × A + 100 × B +10 × C +D

这里的A、B、C、D分别代表千位、百位、十位和个位上的数字。现在，如果将每个项分解，我们可以得到：

1000 × A = 999 × A + A

100 × B = 99 × B + B

10C = 9 × C + C

D=D

将上述分解后的每项加起来，我们得到：

ABCD= (999 × A + A) + (99 × B + B) + (9 × C + C) + D

= 999 × A + 99 × B +9 × C + (A + B + C + D)

在上面的表达式中，999 × A + 99 × B +9 × C都是3或9的倍数。这意味着，整个数ABCD能否被3或9整除取决于剩下的部分A + B + C + D，即这个数的各个位上的数字之和。

解释二、一个四位数ABCD可以表示为：

ABCD = 1000 × A + 100 × B +10 × C +D

=(9 +1)^3×A + (9 +1)^2×B +(9 +1) ×C + D

展开每一个二项式用9M表示9的倍数项，这可以被写为

ABCD = (9M +1^3)×A +(9M +1^2)×B + (9M +1)×C + D

= 9M(A + B + C) + (A + B + C + D)

这意味着，9M(A + B + C) + (A + B + C + D)能否被9整除，取决于这个表达式最后部分(A + B + C + D)，也就是ABCD的各位数字之和能否被9整除，能被9整除，当然可被3整除（9是3的倍数）。

练习、判断457875、457876能被3或9整除吗？

一个数能被11整除的数的特征

如果一个数奇数位之和与偶数位之和的差，能被11整除，则这个数能被11整除。假设：位置编号从1开始，从一端开始如从后往前数。

解释一、对于任何整数，我们可以将其表示为每个位上的数乘以其对应的10的幂之和。以一个六位数解释，一个六位数ABCDEF可以表示为：

ABCDEF = 100000 × A + 10000 × B + 1000 × C + 100 × D + 10 × E + F

现在，让我们将这个数按照奇数位和偶数位分开，并考虑10的幂对11的性质：

10^0 (即1) 除以11的余数是1。
10^1 (即10) 除以11的余数是-1（或者可以看作是10，因为10 ≡ -1 (mod 11)）。
10^2 (即100) 除以11的余数是1（因为100 ≡ 1 (mod 11)）。
10^3 (即1000) 除以11的余数是-1。
以此类推，10的幂次交替地给出余数1和-1。

利用这个性质，我们可以将原来的数重写为：

ABCDEF = A × (10^5) + B × (10^4) + C × (10^3) + D × (10^2) + E × (10^1) + F × (10^0)
≡ A × (-1) + B × (1) + C × (-1) + D × (1) + E × (-1) + F × (1) (mod 11)
≡ -A + B - C + D - E + F (mod 11)

现在，如果我们取奇数位之和与偶数位之和的差：

(奇数位置的数字和) - (偶数位置的数字和)
= (B + D + F)- (A + C + E)

由于我们在上面的等式中看到奇数位的数是带负号的，而偶数位的数是带正号的，这个差实际上就是原数除以11后的余数。如果这个差能被11整除（即余数为0），那么原数也能被11整除。反之，如果这个差不能被11整除，那么原数也不能被11整除。这就是为什么一个数的奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除，那么这个数本身就能被11整除的原因。

解释二、考虑十进制数ABCDEF

ABCDEF = 100000 × A + 10000 × B + 1000 × C + 100 × D + 10 × E + F

=(11-1)^5×A + (11-1)^4×B + (11-1)^3×C + (11-1)^2×D + (11-1) ×E + F

展开每一个二项式用11M表示11的倍数项，这可以被写为

ABCDEF =[11M+(-1)^5]×A + [11M+(-1)^4]×B + [11M+(-1)^3]×C + [11M+(-1)^2]×D + [11M+(-1)]×E +F

=[11M - 1]×A + [11M + 1]×B + [11M-1]×C + [11M+1]×D + [11M-1]×E +F

=11M×(A + B + C + D + E ) +(-A + B - C + D - E + F)

这意味着，11M×(A + B + C + D + E ) +(-A + B - C + D - E + F)能否被11整除，取决于这个表达式最后部分，-A + B - C + D - F + E = (B+D+F)-(A+C+E)= (奇数位置的数字和) - (偶数位置的数字和)。

练习、判断24847291、24847251能被11整除吗？

附录、二项展开式定理