• Leetcode 3017. Count the Number of Houses at a Certain Distance II
  • 1. 解题思路
  • 2. 代码实现

• 题目链接：3017. Count the Number of Houses at a Certain Distance II

1. 解题思路

这一题其实思路上还是比较简单的，显然任何一个图都可以拆分为以下三个部分：

1. 环
2. 环的左侧
3. 环的右侧

因此，我们总可以将所有的城市关系分为下述三种：

1. 环内部的两个城市
2. 环外部的两个城市
3. 环外部的一个城市与环内的一个城市

因此，我们只需要分类讨论上述三种情况下的各个distance的种数然后相加即可。

首先，对于环内的两个城市，这个是比较简单的，对于任何一个距离，从任何一个城市出发，从左从右都可以到达一个城市，因此，任何一个距离$d\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$的距离都对应$2n$的走法，唯一需要注意一下的就是$n$为奇数的情况，此时对于$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$的距离下，左右走到的都是同一个城市，因此需要修正为$n$。

然后，对于第二种情况，对于环外的两个城市，显然我们将环视为两个节点即可，此时就是一条单链，任意距离$d$对应的走法总数就是$n-d$。不过，我们需要注意一下，因为环上的两个点事实上是不允许走到的，因此我们需要额外刨除一下以这两个点作为起点以及终点时的情况。

最后，对于第三种情况，则稍微复杂一点，显然，我们只需要考虑一侧进入到环的情况即可，此时我们不难按照1中的情况获得从环的入口到达环上任意一点的走法种数，然后，我们对环入口线段上的所有点进行一下累加即可，对应情况极为：

$$\begin{array}{rlrlrlrlrlrlrlrl}a& & b& & c& & d& & e& & & & & & & \\ & & a& & b& & c& & d& & e& & & & & \\ & & & & a& & b& & c& & d& & e& & & \\ & & & & & & a& & b& & c& & d& & e& \\ & & & & & & & & & & & & & & & \cdots \end{array}$$

这个我们用一个累积数组进行计算即可。

当然，这里也有一个特殊情况，就是当环的起点和终点是同一个点时，此时走环反而要多走一步，因此我们直接需要过滤掉这种情况。

2. 代码实现

给出python代码实现如下：

class Solution:def countOfPairs(self, n: int, x: int, y: int) -> List[int]:x, y = (x, y) if x <= y else (y, x)if x == y:return [2*(n-1-i) for i in range(n)]inside = y-x+1left, right = x-1, n-ydef cal_outer(a, b):m = a+b+2ans = [2*(m-1-i) for i in range(m)]for i in range(a):ans[i] -= 2ans[i+1] -= 2for i in range(b):ans[i] -= 2ans[i+1] -= 2ans[0] -= 2return ans + [0] * (n-len(ans))def cal_inner(m):if m % 2 == 0:ans = [m*2 for i in range(1, m//2)] + [m]else:ans = [m*2 for i in range(1, (m+1)//2)]return ans + [0] * (n-len(ans))def cal_cross(a, b):ans= [0 for _ in range(n)]if a == 0:return anss = [1] + [2 for _ in range((b-1)//2)]if b % 2 == 0:s = s + [1]m = len(s)s = [0] + list(accumulate(s))for i in range(a+m-1):ans[i] = 2*(s[min(i+1, m)] - s[max(0, i-a+1)])return ansinner = cal_inner(inside)outer = cal_outer(left, right)left_cross = cal_cross(left, inside)right_cross = cal_cross(right, inside)ans = [inner[i]+outer[i]+left_cross[i]+right_cross[i] for i in range(n)]return ans

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