概念

决策树是一种树形结构

树中每个内部节点表示一个特征上的判断，每个分支代表一个判断结果的输出，每个叶子节点代表一种分类结果

决策树的建立过程

1.特征选择：选取有较强分类能力的特征。

2.决策树生成：根据选择的特征生成决策树。

3. 决策树也易过拟合，采用剪枝的方法缓解过拟合

决策树的分类

ID3 决策树

如何挑选出区分度最强的特征:

        遍历所有特征, 尝试进行分类, 计算所有特征的信息增益

        选择信息增益最大的特征作为当前轮选出来的特征

信息熵/信息增益

        在信息论中代表随机变量不确定度的度量

                其中 P(xi) 表示数据中类别出现的概率，H(x) 表示信息的信息熵值

        信息增益 = 信息熵 - 条件熵

                条件熵 = ∑ 当前类别特征取值在所有样本中的比例 * 当前类别特征取值的信息熵

ID3 决策树生长停止的条件

        所有的叶子结点信息熵为0

        所有的特征都用完了

案例

下面以常用的贷款申请样本数据表为样本集，通过数学计算来介绍信息增益计算过程。

Step1 计算经验熵

类别一共是两个拒绝/同意，数量分别是6和9，根据熵定义可得：

Step2 各特征的条件熵

将各特征分别记为 $A_1,A_2,A_3,A_4$ ，分别代表年龄、有无工作、有无房子和信贷情况，那么

 Step3 计算增益

根据计算所得的信息增益，选取最大的$A_3$ 作为根节点的特征。它将训练集 $D$ 划分为两个子集$D_1$（取值为“是”）和$D_2$（取值为“否”）。由于$D_1$只有同一类的样本点，所以成为一个叶节点，节点标记为“是”。

对于$D_2$需从特征$A_1,A_2,A_4$中选择新的特征。计算各个特征的信息增益

 选择信息增益最大的特征$A_2$作为节点的特征。由于$A_2$有两个可能取值，一个是“是”的子节点，有三个样本，且为同一类，所以是一个叶节点，类标记为“是”；另一个是“否”的子节点，包含6个样本，也属同一类，所以也是一个叶节点，类别标记为“否”。

最终构建的决策树如下：

ID3算法步骤

        计算每个特征的信息增益

        使用信息增益最大的特征将数据集 S 拆分为子集

        使用该特征（信息增益最大的特征）作为决策树的一个节点

        使用剩余特征对子集重复上述（1，2，3）过程

 C 4.5 决策树

ID3 决策树的缺陷:

        倾向于选择类别取值比较多的特征, (ID3 计算信息增益带来的缺陷)

C4.5 做特征选择的时候, 计算的是信息增益率, 而不是信息增益

        信息增益率 = 信息增益/ 特征自己的信息熵

        相当于对信息增益进行修正，增加一个惩罚系数

Cart树

Cart模型是一种决策树模型，它即可以用于分类，也可以用于回归。

Cart回归树使用平方误差最小化策略

Cart分类生成树采用的基尼指数最小化策略。

Cart分类生成树

基尼值Gini（D）：从数据集D中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率。故，Gini（D）值越小，数据集D的纯度越高。

基尼指数Gini_index（D）：选择使划分后基尼系数最小的属性作为最优化分属性。

 注意：

信息增益（ID3）、信息增益率值越大（C4.5），则说明优先选择该特征。 基尼指数值越小

（cart），则说明优先选择该特征。

Cart回归决策树

CART 回归树和 CART 分类树的不同之处在于: 

CART 分类树预测输出的是一个离散值，CART 回归树预测输出的是一个连续值 CART 分类树使

用基尼指数作为划分、构建树的依据，CART 回归树使用平方损失 分类树使用叶子节点多数类别

作为预测类别，回归树则采用叶子节点里均值作为预测输出

CART 回归树的平方损失

 决策枝剪枝

为什么要剪枝:

        决策树剪枝是一种防止决策树过拟合的一种正则化方法；提高其泛化能力

        把子树的节点全部删掉，使用用叶子节点来替换

剪枝的方式

预剪枝：指在决策树生成过程中，对每个节点在划分前先进行估计，若当前节点的划分不能带来决

策树泛化性能提升，则停止划分并将当前节点标记为叶节点;

        优点: 预剪枝使决策树的很多分支没有展开，不单降低了过拟合风险，还显著减少了决策树的

                训练、测试时间开销

        缺点: 有些分支的当前划分虽不能提升泛化性能，但后续划分却有可能导致性能的显著提高； 

                 预剪枝决策树也带来了欠拟合的风险

后剪枝：是先从训练集生成一棵完整的决策树，然后自底向上地对非叶节点进行考察，若将该节点

对应的子树替换为叶节点能带来决策树泛化性能提升，则将该子树替换为叶节点。

        优点: 比预剪枝保留了更多的分支。一般情况下，后剪枝决策树的欠拟合风险很小，泛化性能

                往往优于预剪枝

        缺点: 后剪枝先生成，后剪枝。自底向上地对树中所有非叶子节点进行逐一考察，训练时间开

                销比未剪枝的决策树和预剪枝的决策树都要大得多。