【排序算法】六、快速排序（C/C++）

「前言」文章内容是排序算法之快速排序的讲解。（所有文章已经分类好，放心食用）

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目录

  • 快速排序
    • 1.1 原理
    • 1.2 Hoare版本（单趟）
    • 1.3 快速排序完整代码（Hoare版）(递归实现)
    • 1.4 选择基准数key优化（三数取中）
    • 1.5 挖坑法（单趟）
    • 1.6 快速排序完整代码（挖坑法）(递归实现)
    • 1.7 前后指针版（单趟）
    • 1.8 快速排序完整代码（前后指针版）(递归实现)
    • 1.9 快速排序小区间优化
    • 1.9 快速排序非递归实现
    • 1.10 特性总结

快速排序

1.1 原理

快速排序是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法，一种高效的排序算法

基本思想：是通过一趟排序将待排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另一部分小，然后再按照此方法对这两部分数据分别进行快速排序，以达到整个数据变成有序序列

具体步骤如下：

  1. 从数列中挑出一个元素作为基准元素
  2. 将比基准元素小的元素放在其左边，比基准元素大的元素放在其右边，基准元素所在位置即为最终位置
  3. 分别对左右两个子序列递归地进行快速排序

对于如何按照基准值将待排序列分为两个子序列（单趟），单趟常见的方式有：

  1. Hoare版本
  2. 挖坑法
  3. 前后指针法

下面先谈Hoare版本的

1.2 Hoare版本（单趟）

Hoare版本的单趟排序的动图如下：
在这里插入图片描述

Hoare版本的单趟排序的基本步骤如下：

  1. 从数组中选出一个key，一般是最左边或是最右边的，上面动图是选左边的
  2. 定义一个left: L和一个right: R。如果选的key是左边的，则需要R先走，然后L从左向右走，R从右向左走。（注意：若选择最右边的数据作为key，则需要L先走）
  3. 选左：
  4. 选取最左边的基准值作为key，L和R的任务：（1）L：找比key大的；（2）R：找比key小的
  5. 选取最左边的基准值作为key： 在走的过程中，若R遇到小于key的数，则停下，L开始走，直到L遇到一个大于key的数时，将L和R的内容交换，R再次开始走，如此进行下去，直到L和R最终相遇，相遇结束。此时将相遇点的内容与key交换即可
  6. 选右：
  7. 选取最左边的基准值作为key，L和R的任务：（1）L：找比key小的；（2）R：找比key大的
  8. 选取最右边的基准值作为key： 在走的过程中，若L遇到小于key的数，则停下，R开始走，直到R遇到一个大于key的数时，将L和R的内容交换，L再次开始走，如此进行下去，直到L和R最终相遇，相遇结束。此时将相遇点的内容与key交换即可

经过一次单趟排序，最终使得key左边的数据全部都小于key，key右边的数据全部都大于key，并且key所在的位置就是最终的位置

相遇位置的值如何保证比key小，相遇点直接和key交换会不会出错，会不会把较大的值换到了左边？

  • 如果选取最左边的基准值作为key，R先走保证相遇位置的值保证比key小
  • 如果R停下来，L走，L撞到R（相遇），相遇位置的值必定比key小
  • 如果L停下来，R走，R撞到L（相遇），相遇位置的值必定比key小
  • 同理，如果选取最右边的基准值作为key，L先走保证相遇位置的值保证比key大

1.3 快速排序完整代码（Hoare版）(递归实现)

首先经过一次单趟排序，然后将key的左序列和右序列再次进行这种单趟排序，如此反复操作下去，直到左右序列只有一个数据，或是左右序列不存在时，停止操作，此时序列（或者子序列）已经有序

排序步骤演示：

类似于二叉树的前序遍历
在这里插入图片描述
代码如下（递归，Hoare版）：（升序）

void Swap(int* p1, int* p2)
{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}// Hoare版本（单趟）
int PartQuickSort(int* arr, int left, int right)
{int keyi = left; // key的下标，选左边为keywhile (left < right) // left == right即相遇{// right先走，找比key小的值while (left < right && arr[right] >= arr[keyi]){--right;}// left后走，找比key大的值while (left < right && arr[left] <= arr[keyi]){++left;}// 找到一组值，交换：交换arr[left] 和 arr[right]if (left < right){Swap(&arr[left], &arr[right]);}}Swap(&arr[keyi], &arr[left]); // 交换 keyi 和相遇点位置的值，left==rightreturn left; // 返回相遇点的下标
}// 快速排序
void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{// 1、区间不存在(left > right) 2、只有一个数数不需要再处理(left == right)if (left >= right){return;}// 单趟排序并获取基准值int keyi = PartQuickSort(arr, left, right);// 递归处理每一个子序列（左、右）QuickSort(arr, left , keyi - 1); // keyi 左序列进行排序QuickSort(arr, keyi + 1, right); // keyi 右序列进行排序
}

1.4 选择基准数key优化（三数取中）

快速排序的时间复杂度是O(NlogN)，是我们在理想情况下计算的结果

在理想情况下，我们每次进行完单趟排序后，key的左序列与右序列的长度都相同
在这里插入图片描述
若每趟排序所选的key都正好是该序列的中间值，即单趟排序结束后key位于序列正中间，那么快速排序的时间复杂度就是O(NlogN)

可是谁能保证你每次选取的key都是正中间的那个数呢？

例如，以下数组：
在这里插入图片描述
如果基准值key是数组中最大或最小的数值（假设选左边），则快速排序的递归深度会非常深，排序效率会很低

若是一个有序数组使用快速排序，这种情况下，快速排序的时间复杂度退化为O(N^2)
在这里插入图片描述
对快速排序效率影响最大的就是选取的key，若选取的key越接近中间位置，则则效率越高

为了避免这种极端情况的发生，于是出现了三数取中

三数取中

三数取中的方法是从待排序数组中选择三个元素，分别是左端、右端和中间位置的元素，然后取这三个元素的中间值作为基准元素

代码如下：

// 三数取中
int GetMidIndex(int* arr, int left, int right)
{int mid = left + (right - left) / 2;if (arr[left] < arr[mid]) {if (arr[mid] < arr[right]) {return mid; // [mid]是中间值}else if (arr[left] > arr[right]){return left;}else{return right;}}else  // arr[left] >= arr[mid]{if (arr[mid] > arr[right]){return mid;}else if (arr[left] < arr[right]){return left;}else{return right;}}
}

需要注意，当大小居中的数不在序列的最左或是最右端时，我们不是就以居中数的位置作为key的位置，而是将key的值与最左端的值进行交换，这样key就还是位于最左端了，所写代码就无需改变，而只需在单趟排序代码开头加上以下两句代码即可:

如下：

// Hoare版本（单趟）
int PartQuickSort(int* arr, int left, int right)
{// 三数取中int midi = GetMidIndex(arr, left, right);Swap(&arr[left], &arr[midi]);int keyi = left; // key的下标，选左边为key// ...return left; // 返回相遇点的下标
}

1.5 挖坑法（单趟）

挖坑法是基于Hoare版本改良的（Hoare版本代码细节太多）

挖坑法的单趟排序的动图如下：
在这里插入图片描述
挖坑法的单趟排序的基本步骤如下：

  1. 选出一个数据（上图选最左为坑）存放在key变量中，在该数据位置形成一个坑
  2. 定义一个left: L和一个right: R，L从左向右走，R从右向左走（若在最左边挖坑，则需要R先走；若在最右边挖坑，则需要L先走）
  3. 选取最左边的作为坑位为例：
  4. L和R的任务：（1）L：找比key大的；（2）R：找比key小的
  5. R先走，在走的过程中，若R遇到小于key的数，则将该数抛入坑位，并在此处形成一个新的坑位，这时L再向后走，若遇到大于key的数，则将其抛入坑位，又形成一个坑位，如此循环下去，直到最终L和R相遇，这时将key抛入坑位即可

经过一次单趟排序，最终也使得key左边的数据全部都小于key，key右边的数据全部都大于key，并且key所在的位置就是最终的位置

挖坑法代码如下：（升序）

void Swap(int* p1, int* p2)
{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}// 挖坑法（单趟）
int PartQuickSort2(int* arr, int left, int right)
{// 三数取中int midi = GetMidIndex(arr, left, right);Swap(&arr[left], &arr[midi]);int key = arr[left]; // 在最左形成一个坑位int hole = left; // 坑的下标while (left < right){// right先走，找比key小的while (left < right && arr[right] >= key){--right;}arr[hole] = arr[right]; // 填坑hole = right;// left后走，找比key大的while (left < right && arr[left] <= key){++left;}arr[hole] = arr[left]; // 填坑hole = left;}arr[hole] = key;return hole;
}

1.6 快速排序完整代码（挖坑法）(递归实现)

代码如下（递归，挖坑法）：（升序）

void Swap(int* p1, int* p2)
{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}// 挖坑法（单趟）
int PartQuickSort2(int* arr, int left, int right)
{// 三数取中int midi = GetMidIndex(arr, left, right);Swap(&arr[left], &arr[midi]);int key = arr[left]; // 在最左形成一个坑位int hole = left; // 坑的下标while (left < right){// right先走，找比key小的while (left < right && arr[right] >= key){--right;}arr[hole] = arr[right]; // 填坑hole = right;// left后走，找比key大的while (left < right && arr[left] <= key){++left;}arr[hole] = arr[left]; // 填坑hole = left;}arr[hole] = key;return hole; // 返回key的下标
}// 快速排序
void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{// 1、区间不存在(left > right) 2、只有一个数数不需要再处理(left == right)if (left >= right){return;}// 单趟排序并获取基准值int keyi = PartQuickSort2(arr, left, right);// 递归处理每一个子序列（左、右）QuickSort(arr, left , keyi - 1); // keyi 左序列进行排序QuickSort(arr, keyi + 1, right); // keyi 右序列进行排序
}

1.7 前后指针版（单趟）

前后指针版的单趟排序的动图如下：
在这里插入图片描述
前后指针法的单趟排序的基本步骤如下：

  1. 选出一个key，最左边或是最右边的（上图选最左）
  2. 开始时，prev指向序列的左边，cur指向prev+1的位置
  3. 情况1：若cur指向的内容小于key，则prev向右后移动一位，然后交换prev和cur指针指向的内容，然后cur指针++
  4. 情况2：若cur指向的内容大于key，则cur指针直接++。如此进行下去，直到cur指针越界，此时将key和prev指针指向的内容交换即可

前后指针版代码如下：（升序）

void Swap(int* p1, int* p2)
{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}// 前后指针版（单趟）
int PartQuickSort3(int* arr, int left, int right)
{// 三数取中int midi = GetMidIndex(arr, left, right);Swap(&arr[left], &arr[midi]);int keyi = left;int prev = left;int cur = left + 1;while (cur <= right){if (arr[cur] < arr[keyi]) // cur指向的内容小于key{++prev;if(prev != cur)Swap(&arr[prev], &arr[cur]);}++cur;}Swap(&arr[keyi], &arr[prev]);return prev; // 返回key当前的下标
}

1.8 快速排序完整代码（前后指针版）(递归实现)

代码如下（递归，前后指针版）：（升序）

void Swap(int* p1, int* p2)
{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}// 前后指针版（单趟）
int PartQuickSort3(int* arr, int left, int right)
{// 三数取中int midi = GetMidIndex(arr, left, right);Swap(&arr[left], &arr[midi]);int keyi = left;int prev = left;int cur = left + 1;while (cur <= right){if (arr[cur] < arr[keyi]) // cur指向的内容小于key{++prev;if(prev != cur)Swap(&arr[prev], &arr[cur]);}++cur;}Swap(&arr[keyi], &arr[prev]);return prev; // 返回key当前的下标
}// 快速排序
void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{// 1、区间不存在(left > right) 2、只有一个数数不需要再处理(left == right)if (left >= right){return;}// 单趟排序并获取基准值int keyi = PartQuickSort3(arr, left, right);// 递归处理每一个子序列（左、右）QuickSort(arr, left , keyi - 1); // keyi 左序列进行排序QuickSort(arr, keyi + 1, right); // keyi 右序列进行排序
}

1.9 快速排序小区间优化

快速排序的递归类似于二叉树的形式，深度越深待排数组的长度越短，但是数量也越多，调用函数的次数就越多，开辟函数栈帧的消耗越大，导致效率下降（每一层的递归次数会以2倍的形式快速增长，后三层的递归次数占据了总递归次数的70%以上）

优化的方式就是设置一个排序序列的长度大小，若是数组长度大于这个指定的数，则调用快速排序，若是数组长度小于这个指定的数，不再调用快速排序，而是调用插入排序或者其他排序

这个数可自行调整，代码如下：

// 快速排序（优化）
void QuickSort2(int* arr, int left, int right)
{// 1、区间不存在(left > right) 2、只有一个数数不需要再处理(left == right)if (left >= right){return;}if (right - left + 1 > 8) // 可自行调整{// 单趟排序并获取基准值int keyi = PartQuickSort3(arr, left, right);// 递归处理每一个子序列（左、右）QuickSort(arr, left, keyi - 1); // keyi 左序列进行排序QuickSort(arr, keyi + 1, right); // keyi 右序列进行排序}else // 调用其他排序{InsertSort(arr + left, right - left + 1);}
}

1.9 快速排序非递归实现

将一个用递归实现的算法改为非递归时，一般需要借用一个数据结构，那就是栈

C语言的库没有封装有stack，需要自己手搓一个，C++的STL库则封装有

如果是C语言，我就不贴代码了，代码链接：stack，下面简单介绍一下手搓stack的接口

// 初始化
void StackInit(ST* ps);
// 销毁栈
void StackDestroy(ST* ps);
// 入栈
void StackPush(ST* ps, STDataType x);
// 出栈
void StackPop(ST* ps);
// 检测栈是否为空，如果为空返回非零结果，如果不为空返回0
bool StackEmpty(ST* ps);
// 获取栈顶元素
STDataType StackTop(ST* ps);
// 获取栈中有效元素个数
int StackSize(ST* ps);

快速排序的非递归算法基本思路：

  1. 先将待排序列的第一个元素的下标和最后一个元素的下标入栈
  2. 当栈不为空时，读取栈中的信息（一次读取两个：一个是left，另一个是right），然后调用某一版本的单趟排序，排完后获得了key的下标，然后判断key的左序列和右序列是否还需要排序，若还需要排序，就将相应序列的left和right入栈；若不需排序了（序列只有一个元素或是区间不存在），就不需要将该序列区间的信息入栈
  3. 重复执行步骤2，直到栈为空为止

C语言代码如下：（升序）

void QuickSort3(int* arr, int left, int right)
{Stack st; // 创建栈StackInit(&st); // 初始化栈StackPush(&st, left); // 待排序列的leftStackPush(&st, right); // 待排序列的rightwhile (!StackEmpty(&st)) // 栈为空结束{int right = StackTop(&st); // 读取rightStackPop(&st); // 出栈int left = StackTop(&st); // 读取leftStackPop(&st); // 出栈// 判断左右区间是否合理，若不合理则跳过本次循环if (left >= right){continue;}int keyi = PartQuickSort2(arr, left, right); // 调用单趟的方法StackPush(&st, left); // 左序列的left入栈StackPush(&st, keyi - 1); // 左序列的right入栈StackPush(&st, keyi + 1); // 右序列的left入栈StackPush(&st, right); // 右序列的right入栈}
}

C++代码如下：（升序）

void QuickSort4(int* arr, int left, int right)
{stack<int> st; // 创建栈st.push(left); // 待排序列的leftst.push(right); // 待排序列的rightwhile (!st.empty()) // 栈为空结束{int right = st.top(); // 读取rightst.pop(); // 出栈int left = st.top(); // 读取leftst.pop(); //出栈//判断左右区间是否合理，若不合理则跳过本次循环if (left >= right){continue;}int keyi = PartQuickSort2(arr, left, right); // 调用单趟的方法st.push(left); // 左序列的left入栈st.push(keyi - 1); // 左序列的right入栈st.push(keyi + 1); // 右序列的left入栈st.push(right); // 右序列的right入栈}
}

1.10 特性总结

快速排序的特性总结如下：

  • 时间复杂度：平均情况下，快速排序的时间复杂度为O(nlogn)
  • 空间复杂度：O(1)
  • 稳定性：不稳定
  • 不适用于小规模数据，适用于大规模数据的排序

--------------------- END ----------------------

「 作者 」 枫叶先生
「 更新 」 2024.1.20
「 声明 」 余之才疏学浅，故所撰文疏漏难免，或有谬误或不准确之处，敬请读者批评指正。

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