TOPSIS分析法

算法流程

假设有m个评价对象，n个评价指标，首先需要进行指标的正向化：
1. 极大型
2. 极小型
3. 单点型
4. 区间型
然后对正向化后的矩阵进行标准化，得到 $Z$ 矩阵：假设 $X$ 为正向化后的矩阵，则 $Z$ 是标准化后的矩阵：

$X=\begin{bmatrix}x_{11}&x_{11}&...&x_{1n}\\x_{21}&x_{22}&...&x_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{m1}&x_{m2}&...&x_{mn}\end{bmatrix};$

$Z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^nx_{ij}^2}}$

得到标准化后的矩阵后，我们要进行打分：计算出第 $i$ 个评价对象与最大值的距离 $D^{+}_i$ ，和最小值的距离 $D^{-}_i$
1. 计算带组合权重的 TOPSIS 分析法还需要 $D^{+}_i$ $D^{-}_i$ 分别再乘以权重 $W$
  然后再开方。

$Z=\begin{bmatrix}z_{11}&z_{11}&...&z_{1n}\\z_{21}&z_{22}&...&z_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\z_{m1}&z_{m2}&...&z_{mn}\end{bmatrix};$

$最大值(z^{+}_1,z^{+}_2 ...z^{+}_n) = \left.\left(\max\begin{Bmatrix}z_{11},z_{21},...,z_{m1}\end{Bmatrix},\max\begin{Bmatrix}z_{12},z_{22},...,z_{m2}\end{Bmatrix},...,\max\begin{Bmatrix}z_{1n},z_{2n},...,z_{mn}\end{Bmatrix}\right)\right|$

$最小值(z^{-}_1,z^{-}_2 ...z^{-}_n) = \left.\left(\min\begin{Bmatrix}z_{11},z_{21},...,z_{m1}\end{Bmatrix},\min\begin{Bmatrix}z_{12},z_{22},...,z_{m2}\end{Bmatrix},...,\min\begin{Bmatrix}z_{1n},z_{2n},...,z_{mn}\end{Bmatrix}\right)\right|$

$D_{i}^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}(z_{j}^{+}-z_{ij})^{2}}$

${\cal D}_{i}^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}(z_{j}^{-}-z_{ij})^{2}}$

计算出第 $i$ 个评价对象未归一化后的得分： $S_i$ ，很明显 $0<= S_i <=1$ ，且 $S_i$ 越大 $D^{+}_i$ 越小，越接近最大值。

$S_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-}$

计算归一化后的得分：即每分数除以所有分数之和：

$stand\_S=\frac{S_i}{\sum_{i=1}^nS_i}$

程序代码

function [score]=mfunc_TOPSIS(data,W)  % TOPSIS方法：求解每个对象的综合评价得分% paramts: %      data: 原始数据矩阵,(m,n) m为评价对象，n为评价指标%      W: 每个指标的初始权重% returns:%      Score：每个评价对象的综合得分%X输入的数据，W各指标的权重[n,~]=size(data);%Z=zscore(X);Z = data ./ repmat(sum(data.*data) .^ 0.5, n, 1); %矩阵标准化V_D = sum(((Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ) .* repmat(W,n,1) ,2) .^ 0.5; V_X = sum(((Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ) .* repmat(W,n,1) ,2) .^ 0.5; S = V_X ./ (V_D+V_X); %未归一化得分Score_S = S / sum(S); %归一化得分,即为每个企业的投资风险评分，值越大，投资风险也越大% score=Score_S;score=100*Score_S/max(Score_S);
end