1 论文简介

《A threshold selection method from gray-level histograms》是由日本学者大津于 1979 年发表在 IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS 上的一篇论文。该论文提出了一种基于图像灰度直方图的阈值化方法，计算简单，且不受图像亮度和对比度的影响，被称为阈值分割领域的最佳算法之一。以下称 Otsu 法。

2 算法原理

假设原始图像的最大灰度级为 $L$，第 $i$ 级的像素数用 $n_i$ 表示，那么原始图像的总像素数 $N$ 计算如下：
$$N=n_1+n_2+...+n_i+...+n_L\text{\hspace{1em}(1)}$$
归一化直方图 $p_i$ 表示如下：
$$p_i=n_i/N,p_i\ge 0,\sum _{i=1}^L{p}_i=1\text{\hspace{1em}(2)}$$
现假设通过 $k$ 级阈值将直方图分为 $C_0$ 和 $C_1$ 两类（目标和背景），则 $C_0$ 和 $C_1$ 的累积概率、均值分别为：
$${\omega }_0=\sum _{i=1}^k{p}_i\text{\hspace{1em}(3)}$$ $${\omega }_1=\sum _{i=k+1}^L{p}_i\text{\hspace{1em}(4)}$$ $${\mu }_0=\sum _{i=1}^{k}i{p}_i/{\omega }_0\text{\hspace{1em}(5)}$$ $${\mu }_1=\sum _{i=k+1}^{L}i{p}_i/{\omega }_1\text{\hspace{1em}(6)}$$
故 $k$ 级阈值下的类间方差 ${\sigma }_B$ 为：
$${\sigma }_B={\omega }_0{\omega }_1{\left({\mu }_1-{\mu }_0\right)}^2\text{\hspace{1em}(7)}$$
最佳阈值 $k^{\ast }$ 计算如下：
$${\sigma }_B\left(k^{\ast }\right)=\underset{1\le k<L}{\max }{\sigma }_B\left(k\right)\text{\hspace{1em}(8)}$$
值得注意的是，该方法非常容易拓展至多阈值的情形。

3 实验结果

4 参考文献

[1] Otsu N. A threshold selection method from gray-level histograms[J]. IEEE transactions on systems, man, and cybernetics, 1979, 9(1): 62-66.

5 代码链接

代码。