深入理解傅里叶变换

目录

  • 1. 什么是傅里叶变换
  • 2. 为什么要分解为正弦波的叠加
  • 参考资料

1. 什么是傅里叶变换

高等数学中一般是从周期函数的傅里叶级数开始介绍的,这里也不例外。

简单的说,从高中我们就学过一个理想的波可以用三角函数来描述,但是实际上的波可以是各种奇形怪状的。

首先我们来看具有固定周期的波,下图中展示了4种常见的周期波。傅里叶级数告诉我们,这些周期信号都可以分解为有限或无限个正弦波或余弦波的叠加,且这些波的频率都是原始信号频率 f 0 f_0 f0的整数倍。
在这里插入图片描述
这个公式是傅里叶级数的表示形式,它用于将周期性信号分解为一系列简单的正弦波和余弦波的叠加。让我们来一步步解读它:

  • s ( t ) s(t) s(t) 是时间 t t t 的函数,表示原始信号。
  • A 0 / 2 A_0/2 A0/2 是直流分量(也就是信号的平均值或基线水平)。
  • ∑ \sum 符号代表求和,表示将所有的正弦波叠加起来。
  • n n n 是和的索引,用于表示不同的频率成分。
  • A n A_n An 是第 n n n个正弦波的振幅,它决定了这个分量的强度。
  • s i n ( 2 π n f 0 t + ϕ n ) sin(2\pi n f_0 t + \phi_n) sin(2πnf0t+ϕn) 是正弦波函数,其中:
    • 2 π n f 0 2\pi n f_0 2πnf0 表示角频率, n n n 倍的基频 f 0 f_0 f0,这里 f 0 f_0 f0 是信号的基础频率。
    • t t t 是时间变量。
    • ϕ n \phi_n ϕn 是相位偏移,决定了正弦波的起始点。

总结一下,这个公式告诉我们,任何周期性的信号都可以看作是一系列不同频率、振幅和相位的正弦波的叠加。这是分析和处理信号时非常有用的一种方式。

2. 为什么要分解为正弦波的叠加

分解为正弦波的叠加是很有用的,因为正弦波是最基本的振动形式,而且有一些很好的性质:

  1. 简单性:正弦波是周期函数的基础,它们简单且形式统一,这使得分析和理解复杂信号变得容易。

  2. 正交性:不同频率的正弦波彼此正交,意味着它们可以独立分析和处理。在数学上,这意味着它们可以相互独立地相加或相减,不会相互干扰。

  3. 分析工具:在物理和工程问题中,许多系统对正弦波的响应特别容易分析。例如,在电子学中,通过分析系统对正弦波的响应,可以推断出系统对更复杂信号的响应。

  4. 信号处理:在信号处理中,将信号分解为正弦波使我们能够过滤、放大或衰减特定的频率成分,从而改善信号的质量或提取有用信息。

  5. 信息表示:在通信系统中,信息常常被编码在正弦波的不同属性(如振幅、频率、相位)中,分解信号为正弦波有助于解码这些信息。

因此,傅里叶分析通过将复杂信号分解为正弦波,提供了一种强大的方式来理解和处理这些信号。

参考资料

[1] https://tracholar.github.io/math/2017/03/12/fourier-transform.html;

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