度量空间与拓扑空间

度量空间 Метрическое пространство

任意集合中元素之间的“接近度”，是拓扑学中的一个重要概念，而为了衡量元素之间的“接近度”，使用“距离”这一概念是相当方便的方法。

让我们给定一个任意的集合$X$，它由任意性质的元素组成，那么定义在集合$X$上的度量则是一个非负的数值函数$\rho (x,y)$，其中元素$x,y\in X$，以及满足以下的性质：

1. $\rho (x,y)=0$，当且仅当$x=y$时成立 [恒等公理]；
2. $\rho (x,y)=\rho (y,x)$ [对称公理]；
3. 对于任意的三个元素$x,y,z\in X$，总会有$\rho (x,y)\le \rho (x,z)+\rho (z,y)$ [三角公理]。

于是，集合$X$与定义在该集合上的一个度量$\rho$称为度量空间，度量空间通常用有序对$(X,\rho )$来表示，但有时也会只有一个$X$来表示。

闭集 Закрытое множество

对于$x\in X$，满足$\rho (x,y)<\epsilon$的所有点$y\in X$的集合$O_{\epsilon }(x)$称为以$x\in X$为中心，半径为$\epsilon$的球邻域。那么对于集合$Y\subset X$，使得$\rho (x,Y)=0$的每一个点$x\in X$都称为集合$Y$的接触点。集合$Y$所有的接触点的集合被称为集合$Y$的闭包，记作$\bar{Y}$，如果在$Y\subset X$中有$\bar{Y}=Y$，那么$Y$就称为闭集，进一步的，如果$X\setminus Y$（集合$Y$在$X$中的补集）是闭集，那么$Y$就是开集。

其中，特别需要注意的是，全集$X$中的点$x$到子集$Y\subset X$的距离$\rho (x,Y)$指的是，遍历整个子集$Y$中所有的点与点$x$的距离，取其中最小的作为距离$\rho (x,Y)$。

拓扑空间 Топологическое пространство

如果我想在一个集合$X$上定义一个拓扑，那么我们需要引入一个集合$X$的子集族$T$，并且该它们都是开集，然后满足下面的条件：

1. 所有集合$X$以及空集都是空集；
2. 任意子集族的并集和有限个开集的交集的交集都是开集。

这样，集合$X$与定义在该集合上的符合条件的一个子集族$T$称为拓扑空间，度量空间通常用有序对$(X,T)$来表示，但有时也会只有一个$X$来表示。

更加数学化的表达：

集合$X$之所以可以被称为拓扑空间，是当在该集合上可以跟定一个子集族$T$（都是开集），且符合下面的条件时：

1. $\varnothing ,X\in T$
2. $A,B\in T\Rightarrow A\cap B\in T\iff A_1,\dots \dots ,A_n\in T\Rightarrow {\bigcap }_{i=1}^n{A}_i\in T$
3. $A_{\alpha }\in T\Rightarrow {\bigcup }_{\alpha }{A}_{\alpha }\in T$

连续映射 Непрерывное отображение

这里的连续映射是定义在拓扑空间之间的映射，即$f:X⟶Y$，其中$X$和$Y$都是拓扑空间。

那么如果该映射是在点$x_0\in X$上是连续的，则需要满足，对任意$f(x_0)\in Y$的任何邻域$V(f(x_0))$，都有$x_0\in X$的邻域$U(x_0)$，使得$f(U(x_0))\subset V(f(x_0))$。如果这个映射在整个$X$上所有的点都满足连续，那么该映射就是一个连续映射。

换个角度说，首先有两个拓扑空间$X$和$Y$，并且定义了一个映射$f:X⟶Y$，然后我们在集合$X$上取一个点$x_0$，以及它的邻域$U(x_0)$，相应的，我们可以取到映射到集合$Y$上的点$f(x_0)$以及它的邻域$V(f(x_0))$。如果，再将邻域$U(x_0)$通过映射$f$映射到集合$Y$上的点集$f(U(x_0))\subset V(f(x_0))$，即没有超出$V(f(x_0))$的范围，那么在这个点上的映射就是连续的。紧接着，如果映射$f$在集合$X$上所有的点都满足这个定义，那么就可以称$f$是一个连续映射。

同胚 Гомеоморфизм

紧接着连续映射的概念，如果$X$和$Y$两个拓扑空间存在连续映射$f:X⟶Y$，并且该映射即是单射，又是满射（双方单值），然后该映射的逆映射$f^{-1}$也是连续映射，那么我们就可以称该映射为同胚，同时$X$和$Y$两个拓扑空间也是同胚的拓扑空间。

诱导拓扑 Индуцированная топология

如果$X$是一个拓扑空间，$Y\subset X$是$X$的一个子集，那么，我们在$Y$上也能作出一个拓扑结构。
那么也就是说这里新的拓扑空间的集合就是$Y$，然后我们找到这个集合中一类特殊的子集族，即由集合$X$中的开集与$Y$交集形成的新集合。换句话说，$U\subset X$是一个开集，那么$U\cap Y$就是$Y$上的一个开集。

这里举一个实数轴$\mathbb{R}$和区间$[0,1]$的例子：

1. 其中，诱导拓扑中的集合就是$[0,1]$；
2. 拓扑结构${\tau }_Y$所有形如$U\cap [0,1]$的集合构成，其中$U\in \mathbb{R}$且是一个开集；
3. 于是，这样的定义便可以构成一个新的拓扑结构$(X,{\tau }_Y)$

连通性

一般的，拓扑空间$X$，如果不能被分为两个非空且不相交的两个开集的并，即说明它是连通的，即无法使用这种形式来表示：$X=A\cup B$，其中$A,B\ne \varnothing$且$A\cap B=\varnothing$。

特别的，如果在一个拓扑空间中，任意两点都可以通过一条连续的曲线相连接，那么称这个拓扑空间是线性连通的。

连续映射下保持的连通性

[定理] 在连续映射下，连通空间的像仍然是连通的，
[定理] 在连续映射下，线性连通空间的像仍然是线性连通的，

也可以表述为：$X$和$Y$都是拓扑空间，且存在一个连续映射$f:X⟶Y$，如果$X$是线性连通的，那么$f(X)$也是线性连通的。

Hausdorff 空间

如$X$是一个拓扑空间，如果任意$x,y\in X$且$x\ne y$，存在不相交的邻域$U(x)$和$U(y)$，即$U(x)\ne U(y)$，那么我们称该空间是Hausdorff空间。

开覆盖

设拓扑空间$X$有开集族 { U α } \{ U_\alpha \} {Uα​}，若$X={\bigcup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$，那么我们称 { U α } \{ U_\alpha \} {Uα​}为开覆盖。

紧致性

如果从拓扑空间$X$的任意开覆盖中分离出有限部分，仍能覆盖该拓扑空间，则说明该空间是紧致的。
也即在任意开覆盖$X={\bigcup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$中都可以分离出有限子覆盖$X={\bigcup }_{i=1}^N{U}_{{\alpha }_i}$，即可以说明该拓扑空间是紧致空间。可以看出，这里的任意开覆盖，可以是无限多个开集构成，也可以是有限多个，这里强调的是有限多的子覆盖。

紧致性的性质

1. 若$A\subset X$是闭集，$X$是紧致空间，那么$A$是紧致的。
2. 若$X$是紧致的，且是Hausdorff空间$Y$的一个子集，那么$X$是$Y$中一个闭集。
3. 若$f:X⟶Y$是连续映射，其中$X$是紧致的，那么$f(X)$也是紧致的。
4. 若$X$是紧致的，$Y$是Hausdorff空间，那么对于连续且是双射的映射$f:X⟶Y$，其逆映射$f^{-1}:Y⟶X$是连续的。