Simon算法详解

0.0 Intro

相关的算法：
Deutsh-Jozsa算法：
    第一个量子算法对经典算法取得指数级加速的算法
    美中不足在于只能确定函数是平衡的还是非平衡的，无法确定函数具体的内容，即无法直接解出函数
Bernstein-Vazirani算法：
    在Deutsh-Jozsa算法基础上进一步提出，能够直接解出算法本身
    同样存在问题，即没有实现指数级的加速

Simon算法 在上述两个算法的基础上更进一步，体现在两个方面
一方面，Simon算法可以在Simon问题中，直接解出目标函数
另一方面，Simon问题的经典解法是指数级复杂度，而Simon算法相较经典算法也是取得了指数级的加速。

1.1 Simon问题（Simon’s Problem）

现有一未知数，其作用域和值域都是n位的二进制数据： $f:\left \{ 0,1\right \}^{n} \to \left \{ 0,1\right \}^{n}$
该函数是单射或对称函数中的一种。当函数为对称时，有： $x_{1}+ x_{2}=s，f(x_{1})=f(x_{2})$ 现需确定函数的属性，若属于对称函数需进一步确定 s

小贴士：

单射函数即作用域上每一个输入都有唯一输出的函数，常见的有实数域上所有的线性函数，例如f(x)=x、f(x)=lnx等都是单射函数
对称函数的性质在上面已经说明，其中s其实是x1和x2的对称轴，常见的对称函数即二次函数，例如f(x)=x^2，其对称轴s=0

1.2 Simon问题分析与经典解法的思路

1.2.1 Simon问题分析

需要注意的是，Simon问题中提到的值域和作用域始终都是n位二进制数，进行的加法严格意义上说是模二加法，在模二加法中两个二进制数相加为0即表示这两个二进制数是相等的，因此可对Simon问题进行如下简化：

对于单射函数，显然有：在x1=x2时， $x_{1}+ x_{2}=0，f(x_{1})=f(x_{2})$ 因此，s=0即为在单射函数情况下的解
对于对称函数，除了s=0这一个解之外，显然还有另一个非平凡解，即为对称函数对称轴的位置

小贴士

平凡解就是显而易见的解、没有讨论的必要但是为了结果的完整性仍需要考虑的结果，比如Ax=0中的零解,即x=0，即为平凡解
非平凡解（nontrivial solution）是齐次方程或齐次方程组的非零解。

1.2.2 Simon问题的经典解法（暴力解法）

可以通过将作用域取值不断带入进行验证的方法进行求解，考虑到单射函数与对称函数的区别，不必将整个作用域带入，只需要带入作用域的一半+1次即可完成验证。
作用域是n位二进制数，因此需要进行验证的次数为： $2^{n-1}+1$
这里解释一下验证一半作用域后额外再验证一次的原因。最坏的情况下，验证一半作用域后会发现每一个输出都是唯一的，那么就需要额外再进行一次，将额外的一次结果与前面一半作用域产生的值进行比对：