手撕乘积(**Multiplication** **Product**): 穷举和图示(1)

手撕乘积(Multiplication & Product): 穷举和图示(1)

乘积

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r ⋅ s = ∑ i = 1 s r = r + r + ⋯ + r ⏟ s times = ∑ j = 1 r s = s + s + ⋯ + s ⏟ r times r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}=\sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}} rs=i=1sr=s times r+r++r=j=1rs=r times s+s++s

4 * 3
>>> 12
.1 * .2
>>> 0.020000000000000004 # 😓
[1, 2, 3] * 2
>>> [1, 2, 3, 1, 2, 3]
[1, 2, 3] * [1, 2, 3]
>>> TypeError: can't multiply sequence by non-int of type 'list' # 😓
(1, 2, 3) * 4
>>> (1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3)
(1, 2, 3) * (1, 2, 3)
>>> TypeError: can't multiply sequence by non-int of type 'tuple'
np.array([1,2,3]) * 2
>>> array([2, 4, 6])
np.array([1,2,3]) * np.array([1,2,3])
>>> array([1, 4, 9])
np.multiply(np.array([1,2,3]), np.array([1,2,3]))
>>> array([1, 4, 9])
np.array([1,2,3]) * np.array([1,2,3,4])
>>> ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (3,) (4,)
np.multiply(np.array([1,2,3]), np.array([1,2,3,4]))
>>> ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (3,) (4,)
np.array([[1,2,3], [1,2,3]]) * np.array([2,3,4])
>>> array([[ 2,  6, 12],[ 2,  6, 12]])
np.multiply(np.array([[1,2,3], [1,2,3]]), np.array([2,3,4]))
>>> array([[ 2,  6, 12],[ 2,  6, 12]])

点乘

x = 3
y = 5
xNda = np.arange(x)
>>> array([0, 1, 2])
x2Nda = xNda*2+1
>>> array([1, 3, 5])
yNda = np.arange(1, y)
>>> array([1, 2, 3, 4])
xyNda = np.meshgrid(xNda, yNda)
>>> array([[[0, 1, 2],[0, 1, 2],[0, 1, 2],[0, 1, 2]],[[0, 0, 0],[1, 1, 1],[2, 2, 2],[3, 3, 3]]])np.dot(x, y)
>>> 15
np.dot(xNda, x)
>>> array([0, 3, 6])
np.dot(xNda+3, xNda+7) # 👇图示之
>>> 98

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向量的点乘,也叫做向量的内积、数量积。对两个向量执行点乘运算,就是对着两个向量对应位置一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

定义: 向量 a = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] a = [a_1, a_2, ..., a_n] a=[a1,a2,...,an] 和向量 b = [ b 1 , b 2 , . . . , b n ] b = [b_1, b_2, ..., b_n] b=[b1,b2,...,bn] 的内积为:

a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n a \cdot b = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n ab=i=1naibi=a1b1+a2b2+...+anbn

特别地, 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 0 \cdot a = a \cdot 0 = 0 0a=a0=0;若 a , b a, b a,b 是非零向量,则 a a a b b b 正交的充要条件是 a ⋅ b = 0 a \cdot b = 0 ab=0

点积的几何意义: 可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在 b b b 向量在 a a a 向量方向上的投影,有公式:

a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ a \cdot b = |a| |b| \cos \theta ab=a∣∣bcosθ

其中, θ \theta θ a a a b b b 之间的夹角。

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根据这个公式就可以计算向量 a a a 和向量 b b b 之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:

  • a ⋅ b > 0 a \cdot b > 0 ab>0,方向基本相同,夹角在 0 ° 0° 90 ° 90° 90° 之间;
  • a ⋅ b = 0 a \cdot b = 0 ab=0,正交,相互垂直;
  • a ⋅ b < 0 a \cdot b < 0 ab<0,方向基本相反,夹角在 90 ° 90° 90° 180 ° 180° 180° 之间。

向量点乘的运算特性:

  • a 2 ≥ 0 a^2 \geq 0 a20;当 a 2 = 0 a^2 = 0 a2=0 时,必有 a = 0 a = 0 a=0; (正定性)
  • a ⋅ b = b ⋅ a a \cdot b = b \cdot a ab=ba;(对称性)
  • ( λ a + μ b ) ⋅ c = λ a ⋅ c + μ b ⋅ c (\lambda a + \mu b) \cdot c = \lambda a \cdot c + \mu b \cdot c (λa+μb)c=λac+μbc,对任意实数 λ , μ \lambda, \mu λ,μ 成立; (线性)
  • cos ⁡ ∠ ( a , b ) = a ⋅ b / ( ∣ a ∣ ∣ b ∣ ) \cos \angle (a, b) = a \cdot b / (|a| |b|) cos(a,b)=ab/(a∣∣b);(余弦定理)
  • ∣ a ⋅ b ∣ ≤ ∣ a ∣ ∣ b ∣ |a \cdot b| \leq |a| |b| aba∣∣b,等号只在 a a a b b b 共线时成立。

😓😓😓…请等下集分解

以上内容来自维基百科, 由在这里插入图片描述协助完成.

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