史诗级长文--朴素贝叶斯

引言

朴素贝叶斯算法是有监督的学习算法，解决的是分类问题，如客户是否流失、是否值得投资、信用等级评定等多分类问题。该算法的优点在于简单易懂、学习效率高、在某些领域的分类问题中能够与决策树、神经网络相媲美。但由于该算法以自变量之间的独立（条件特征独立）性和连续变量的正态性假设为前提，就会导致算法精度在某种程度上受影响。

本文将从其原理讲起，通过实例进行辅助。最后使用python实现。

基本理论

朴素贝叶斯是贝叶斯决策理论的一部分，所以在讲述朴素贝叶斯之前有必要快速了解一下贝叶斯决策理论。

贝叶斯决策理论

假设有个数据集，由两类数据组成，数据分布如下图所示：

用p1(x,y)表示数据点(x,y)属于类别1(图中红色圆点表示的类别)的概率，用p2(x,y)表示数据点(x,y)属于类别2(图中蓝色三角形表示的类别)的概率，那么对于一个新数据点(x,y)，可以用下面的规则来判断它的类别：

如果p1(x,y)>p2(x,y)，那么类别为1
如果p1(x,y)<p2(x,y)，那么类别为2

也就是说，我们会选择高概率对应的类别。这就是贝叶斯决策理论的核心思想，即选择具有最高概率的决策。已经了解了贝叶斯决策理论的核心思想，那么接下来，就是学习如何计算p1和p2概率。

条件概率

在学习计算p1 和p2概率之前，我们需要了解什么是条件概率(Conditional probability)，就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。

全概率公式

贝叶斯推断

对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：

机器学习实战教程（四）：朴素贝叶斯基础篇之言论过滤器

把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。

P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。

P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。

这就是贝叶斯推断的含义。先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。

在这里，如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。

为了加深对贝叶斯推断的理解，举一个例子。

两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？

我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以P(H1)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，我们把这个概率就叫做"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。

再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做"后验概率"，即在E事件发生之后，对P(H1)的修正。

根据条件概率公式，得到

已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，等于30÷(30+10)=0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式，

将数字代入原方程，得到

这表明，来自一号碗的概率是0.6。也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。

朴素贝叶斯推断

贝叶斯和朴素贝叶斯的概念是不同的，区别就在于“朴素”二字，朴素贝叶斯对条件个概率分布做了条件独立性的假设。比如下面的公式，假设有n个特征：

由于每个特征都是独立的，我们可以进一步拆分公式：

以一个例子计算，某个医院早上来了六个门诊的病人，他们的情况如下表所示：

现在又来了第七个病人，是一个打喷嚏的建筑工人。请问他患上感冒的概率有多大？

根据贝叶斯定理：

根据朴素贝叶斯条件独立性的假设可知，"打喷嚏"和"建筑工人"这两个特征是独立的，因此，上面的等式就变成了

因此，这个打喷嚏的建筑工人，有66%的概率是得了感冒。同理，可以计算这个病人患上过敏或脑震荡的概率。比较这几个概率，就可以知道他最可能得什么病。

这就是贝叶斯分类器的基本方法：在统计资料的基础上，依据某些特征，计算各个类别的概率，从而实现分类。

同样，在编程的时候，如果不需要求出所属类别的具体概率，P(打喷嚏) = 0.5和P(建筑工人) = 0.33的概率是可以不用求的。

实战

以在线社区留言为例。为了不影响社区的发展，我们要屏蔽侮辱性的言论，所以要构建一个快速过滤器，如果某条留言使用了负面或者侮辱性的语言，那么就将该留言标志为内容不当。过滤这类内容是一个很常见的需求。对此问题建立两个类型：侮辱类和非侮辱类，使用1和0分别表示。

把文本看成单词向量或者词条向量，也就是说将句子转换为向量。考虑出现所有文档中的单词，再决定将哪些单词纳入词汇表或者说所要的词汇集合，然后必须要将每一篇文档转换为词汇表上的向量。简单起见，我们先假设已经将本文切分完毕，存放到列表中，并对词汇向量进行分类标注。

# -*- coding: UTF-8 -*-def loadDataSet():postingList=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],                #切分的词条['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]classVec = [0,1,0,1,0,1]                                                                   #类别标签向量，1代表侮辱性词汇，0代表不是return postingList,classVec
def setOfWords2Vec(vocabList, inputSet):returnVec = [0] * len(vocabList)                                    #创建一个其中所含元素都为0的向量for word in inputSet:                                                #遍历每个词条if word in vocabList:                                            #如果词条存在于词汇表中，则置1returnVec[vocabList.index(word)] = 1else: print("the word: %s is not in my Vocabulary!" % word)return returnVec                                                    #返回文档向量def createVocabList(dataSet):vocabSet = set([])                      #创建一个空的不重复列表for document in dataSet:vocabSet = vocabSet | set(document) #取并集return list(vocabSet)if __name__ == '__main__':postingList, classVec = loadDataSet()print('postingList:\n',postingList)myVocabList = createVocabList(postingList)print('myVocabList:\n',myVocabList)trainMat = []for postinDoc in postingList:trainMat.append(setOfWords2Vec(myVocabList, postinDoc))print('trainMat:\n', trainMat)

从运行结果可以看出，postingList是原始的词条列表，myVocabList是词汇表。myVocabList是所有单词出现的集合，没有重复的元素。词汇表是用来干什么的？没错，它是用来将词条向量化的，一个单词在词汇表中出现过一次，那么就在相应位置记作1，如果没有出现就在相应位置记作0。trainMat是所有的词条向量组成的列表。它里面存放的是根据myVocabList向量化的词条向量。

接下来，我们就可以通过词条向量训练朴素贝叶斯分类器。

# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as npdef loadDataSet():postingList=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],                #切分的词条['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]classVec = [0,1,0,1,0,1]                                                                   #类别标签向量，1代表侮辱性词汇，0代表不是return postingList,classVecdef setOfWords2Vec(vocabList, inputSet):returnVec = [0] * len(vocabList)                                    #创建一个其中所含元素都为0的向量for word in inputSet:                                                #遍历每个词条if word in vocabList:                                            #如果词条存在于词汇表中，则置1returnVec[vocabList.index(word)] = 1else: print("the word: %s is not in my Vocabulary!" % word)return returnVec                                                    #返回文档向量def createVocabList(dataSet):vocabSet = set([])                      #创建一个空的不重复列表for document in dataSet:vocabSet = vocabSet | set(document) #取并集return list(vocabSet)def trainNB0(trainMatrix,trainCategory):numTrainDocs = len(trainMatrix)                            #计算训练的文档数目numWords = len(trainMatrix[0])                            #计算每篇文档的词条数pAbusive = sum(trainCategory)/float(numTrainDocs)        #文档属于侮辱类的概率p0Num = np.zeros(numWords); p1Num = np.zeros(numWords)    #创建numpy.zeros数组,词条出现数初始化为0p0Denom = 0.0; p1Denom = 0.0                            #分母初始化为0for i in range(numTrainDocs):if trainCategory[i] == 1:                            #统计属于侮辱类的条件概率所需的数据，即P(w0|1),P(w1|1),P(w2|1)···p1Num += trainMatrix[i]p1Denom += sum(trainMatrix[i])else:                                                #统计属于非侮辱类的条件概率所需的数据，即P(w0|0),P(w1|0),P(w2|0)···p0Num += trainMatrix[i]p0Denom += sum(trainMatrix[i])p1Vect = p1Num/p1Denomp0Vect = p0Num/p0Denomreturn p0Vect,p1Vect,pAbusive                            #返回属于侮辱类的条件概率数组，属于非侮辱类的条件概率数组，文档属于侮辱类的概率if __name__ == '__main__':postingList, classVec = loadDataSet()myVocabList = createVocabList(postingList)print('myVocabList:\n', myVocabList)trainMat = []for postinDoc in postingList:trainMat.append(setOfWords2Vec(myVocabList, postinDoc))p0V, p1V, pAb = trainNB0(trainMat, classVec)print('p0V:\n', p0V)print('p1V:\n', p1V)print('classVec:\n', classVec)print('pAb:\n', pAb)

运行结果如下，p0V存放的是每个单词属于类别0，也就是非侮辱类词汇的概率。比如p0V的倒数第6个概率，就是stupid这个单词属于非侮辱类的概率为0。同理，p1V的倒数第6个概率，就是stupid这个单词属于侮辱类的概率为0.15789474，也就是约等于15.79%的概率。我们知道stupid的中文意思是蠢货，难听点的叫法就是傻逼。显而易见，这个单词属于侮辱类。pAb是所有侮辱类的样本占所有样本的概率，从classVec中可以看出，一用有3个侮辱类，3个非侮辱类。所以侮辱类的概率是0.5。因此p0V存放的就是P(him | 非侮辱类) = 0.0833，P(is | 非侮辱类) = 0.0417，一直到P(dog | 非侮辱类) = 0.0417，这些单词的条件概率。同理，p1V存放的就是各个单词属于侮辱类的条件概率。pAb就是先验概率。

已经训练好分类器，接下来，使用分类器进行分类。

# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np
from functools import reduce
def loadDataSet():postingList=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],				#切分的词条['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]classVec = [0,1,0,1,0,1]   																#类别标签向量，1代表侮辱性词汇，0代表不是return postingList,classVec																#返回实验样本切分的词条和类别标签向量
def createVocabList(dataSet):vocabSet = set([])  					#创建一个空的不重复列表for document in dataSet:vocabSet = vocabSet | set(document) #取并集return list(vocabSet)
def setOfWords2Vec(vocabList, inputSet):returnVec = [0] * len(vocabList)									#创建一个其中所含元素都为0的向量for word in inputSet:												#遍历每个词条if word in vocabList:											#如果词条存在于词汇表中，则置1returnVec[vocabList.index(word)] = 1else: print("the word: %s is not in my Vocabulary!" % word)return returnVec													#返回文档向量def trainNB0(trainMatrix,trainCategory):numTrainDocs = len(trainMatrix)							#计算训练的文档数目numWords = len(trainMatrix[0])							#计算每篇文档的词条数pAbusive = sum(trainCategory)/float(numTrainDocs)		#文档属于侮辱类的概率p0Num = np.zeros(numWords); p1Num = np.zeros(numWords)	#创建numpy.zeros数组,p0Denom = 0.0; p1Denom = 0.0                        	#分母初始化为0.0for i in range(numTrainDocs):if trainCategory[i] == 1:							#统计属于侮辱类的条件概率所需的数据，即P(w0|1),P(w1|1),P(w2|1)···p1Num += trainMatrix[i]p1Denom += sum(trainMatrix[i])else:												#统计属于非侮辱类的条件概率所需的数据，即P(w0|0),P(w1|0),P(w2|0)···p0Num += trainMatrix[i]p0Denom += sum(trainMatrix[i])p1Vect = p1Num/p1Denom									#相除p0Vect = p0Num/p0Denomreturn p0Vect,p1Vect,pAbusive							#返回属于侮辱类的条件概率数组，属于非侮辱类的条件概率数组，文档属于侮辱类的概率def classifyNB(vec2Classify, p0Vec, p1Vec, pClass1):p1 = reduce(lambda x,y:x*y, vec2Classify * p1Vec) * pClass1    			#对应元素相乘p0 = reduce(lambda x,y:x*y, vec2Classify * p0Vec) * (1.0 - pClass1)print('p0:',p0)print('p1:',p1)if p1 > p0:return 1else:return 0def testingNB():listOPosts,listClasses = loadDataSet()									#创建实验样本myVocabList = createVocabList(listOPosts)								#创建词汇表trainMat=[]for postinDoc in listOPosts:trainMat.append(setOfWords2Vec(myVocabList, postinDoc))				#将实验样本向量化p0V,p1V,pAb = trainNB0(np.array(trainMat),np.array(listClasses))		#训练朴素贝叶斯分类器testEntry = ['love', 'my', 'dalmation']									#测试样本1thisDoc = np.array(setOfWords2Vec(myVocabList, testEntry))				#测试样本向量化if classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb):print(testEntry,'属于侮辱类')										#执行分类并打印分类结果else:print(testEntry,'属于非侮辱类')										#执行分类并打印分类结果testEntry = ['stupid', 'garbage']										#测试样本2thisDoc = np.array(setOfWords2Vec(myVocabList, testEntry))				#测试样本向量化if classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb):print(testEntry,'属于侮辱类')										#执行分类并打印分类结果else:print(testEntry,'属于非侮辱类')										#执行分类并打印分类结果if __name__ == '__main__':testingNB()