这是我非常喜欢的一道编程题目。不要小看这道题，它看似简单，实则奥妙无穷。由于这是C语言的入门篇，只介绍最简单，也最容易想到的方法：试除法。但哪怕是试除法，也有不少变化。

要想了解试除法，首先要知道什么是素数。简单来说（可能不太严谨，不过我们只重视思路）：素数就是质数，也就是只能被1和本身整除的数。

所以就诞生了判断素数最简单、最朴素的方法，假设要判断数i是不是素数，只需要拿2~（i-1）之间的数去试除i，如果其中有一个数被i整除，那么i就不是素数；反之，如果2~（i-1）之间的数都不能被i整除，就说明i是素数。

比如说，判断7是不是素数，发现2,3,4,5,6都不能被7整除，得出结论：7是素数。或者判断，15是不是素数，发现2不能被15整除，但试到3发现可以被15整除，说明15是合数，不是素数。

有了这些铺垫，就很容易做出下面这道编程题：

打印100到200之间的素数，并统计个数

完整代码如下：

#include <stdio.h>//打印100~200之间的素数，并统计个数
int main()
{int i = 0;int count = 0;//统计个数//产生100~200之间的整数for (i = 100; i <= 200; i++){int flag = 1;//假设i是素数//判断i是不是素数//拿2~i-1的数去试除i，如果整除就不是素数，如果都不整除就是素数//产生2~i-1的数int j = 0;for (j = 2; j < i; j++){if (i % j == 0){flag = 0;//当i不是素数时把j改为0break;}}if (1 == flag)//由于i没有被改成0，说明i是素数{count++;//输出素数printf("%d ", i);}}//输出个数printf("\ncount = %d\n", count);return 0;
}

这里先用for循环产生100~200之间的整数，然后产生2~（i-1）之间的数去试除i，如果整除就把flag置成0。当内层循环结束时，判断flag的值，如果是1，说明i没有被任何一个j整除，就说明i是素数；如果i是0，说明中间i被某一个j整除，从而说明i不是素数。

一定要用flag来判断是不是素数吗？其实不用。稍稍修改一下代码，就能把flag去掉

#include <stdio.h>//打印100~200之间的素数，并统计个数
int main()
{int i = 0;int count = 0;//统计个数//产生100~200之间的整数for (i = 100; i <= 200; i++){//判断i是不是素数//拿2~i-1的数去试除i，如果整除就不是素数，如果都不整除就是素数//产生2~i-1的数int j = 0;for (j = 2; j < i; j++){if (i % j == 0){break;}}if (i == j)//判断i是不是素数，如果2~(i-1)之间的数都不能被i整除，j则为i的值才跳出上面这个循环{count++;//输出素数printf("%d ", i);}}//输出个数printf("\ncount = %d\n", count);return 0;
}

但是去掉flag后代码变得不那么好理解，所以我还是倾向于有flag的版本，接下来我们对有flag的版本做一些优化，提高代码的效率。

首先，一个很容易想到的点是，所有的偶数都肯定不是素数，所以只需产生所有的奇数即可。

#include <stdio.h>int main()
{int i = 0;int count = 0;//统计个数//产生100~200之间的整数for (i = 101; i < 200; i += 2)//偶数肯定不是素数，所以只需产生100~200之间的奇数{int flag = 1;//假设i是素数//判断i是不是素数//拿2~i-1的数去试除i，如果整除就不是素数，如果都不整除就是素数//产生2~i-1的数int j = 0;for (j = 2; j < i; j++){if (i % j == 0){flag = 0;//当i不是素数时把j改为0break;}}if (1 == flag)//由于i没有被改成0，说明i是素数{count++;//输出素数printf("%d ", i);}}//输出个数printf("\ncount = %d\n", count);return 0;
}

接着就是重点了！首先存在下面这条定理（同样是不太严谨的表述，只是为了易于理解）：如果一个数m能写成a*b的形式，那么a和b之中至少有一个数会小于或等于m的算术平方根！（定理1）

举个例子：100=4*25=10*10

当写成4*25时，4就比100的算术平方根（10）要小；当写成10*10时，两个因子都是10，都等于100的算术平方根（10）。

证明很简单，用反证法，假设两个因子都比m的算术平方根大，那么它们的乘积也会比m大，这与它们的乘积等于m矛盾！所以假设不成立，也就是说，至少有一个因子小于或等于m。

讲了一大堆，这根求解素数有什么关系呢？事实上，这个定理可以减少试除的次数！前面我们是用2~（i-1）的数去试除i，但其实只需要拿2~i的算术平方根的数去试除i就行了。

有朋友又纳闷了：为啥呢？很简单，如果2~i的算术平方根之间的数有一个能被i整除，很自然就说明了i是合数，不是素数，这个很好理解。

如果2~i的算术平方根之间的数都不能被i整除（命题1），那么i的算术平方根到（i-1）之间的数也不可能被i整除（命题2）。证明如下：仍然使用反证法，假设在满足命题1的前提下，命题2为假，也就是存在i的算术平方根到（i-1）之间的数能被i整除，也就是说，i能分解为两个整数的因子，那么根据定理1，就至少有一根因子介于2~i的算术平方根之间，也就是说，2~i的算术平方根之间的数一定至少存在一个数能被i整除，与命题1矛盾！所以假设不成立，也就是说，如果命题1成立，命题2一定成立！所以就不用把2~（i-1）之间的数全部试除一遍了，只需要拿2~i的算术平方根之间的数去试除就行了，大大节省了工作量。

比方说，本来要判断101是不是素数，需要拿2~100之间的数去试除，但是现在只需要拿2~101的算术平方根（10点几）之间的数去试除，也就是拿2到10之间的数去试除，效果可想而知。而且，每判断一个数就可以节省这么多计算量，整体效率就大大提升了。

优化后的代码如下：（有一个细节，上面这些只是理论上的论证，实际上由于我们已经从源头上去掉了所有的奇数，所以试除的数从3开始即可，无需从2开始）

#include <stdio.h>
#include <math.h>//打印100~200之间的素数，并统计个数
int main()
{int i = 0;int count = 0;//统计个数//产生100~200之间的整数for (i = 101; i < 200; i += 2)//偶数肯定不是素数，所以只需产生100~200之间的奇数{int flag = 1;//假设i是素数//判断i是不是素数//拿2~i-1的数去试除i，如果整除就不是素数，如果都不整除就是素数//但是事实上只需要拿2~i的算术平方根之间的数去试除i//产生2~i的算数平方根int j = 0;for (j = 3/*其实这里从3开始即可，因为源头上已经去除了所有的偶数*/; j <= sqrt(i); j++)//这里的sqrt是一个库函数，用于计算平方根，头文件是<math.h>{if (i % j == 0){flag = 0;//当i不是素数时把j改为0break;}}if (1 == flag)//由于i没有被改成0，说明i是素数{count++;//输出素数printf("%d ", i);}}//输出个数printf("\ncount = %d\n", count);return 0;
}

但是这段代码仍然有很大的优化空间。比方说，判断101是不是素数，真的需要拿2,3,4,5,6,7,8,9,10都去试除吗？显然无需这么麻烦。比如说4,6,8什么的就没必要了，也就是说，只需拿奇数去试除，偶数都不需要。继续修改代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>//打印100~200之间的素数，并统计个数
int main()
{int i = 0;int count = 0;//统计个数//产生100~200之间的整数for (i = 101; i < 200; i += 2)//偶数肯定不是素数，所以只需产生100~200之间的奇数{int flag = 1;//假设i是素数//判断i是不是素数//拿2~i-1的数去试除i，如果整除就不是素数，如果都不整除就是素数//但是事实上只需要拿2~i的算术平方根之间的数去试除i//产生2~i的算数平方根int j = 0;for (j = 3/*其实这里从3开始即可，因为源头上已经去除了所有的偶数*/; j <= sqrt(i); j += 2/*这里偶数都不需要去试除*/)//这里的sqrt是一个库函数，用于计算平方根，头文件是<math.h>{if (i % j == 0){flag = 0;//当i不是素数时把j改为0break;}}if (1 == flag)//由于i没有被改成0，说明i是素数{count++;//输出素数printf("%d ", i);}}//输出个数printf("\ncount = %d\n", count);return 0;
}

但是本质上，如果把一个合数拆分成几个因子，是可以完全拆分成质数因子的，也就是说，只需要拿质数来试除就行了。但是这样的话，这段代码就要大幅度修改了。篇幅有限，再加上码字有点累了，就暂且到这里吧。

最后说一下，试除法是质数判断方法中最简单、最基础同时效率也最低的一种方法，其他方法诸如筛选法，会从本质上大幅提升效率。这些我会在后面的博客中介绍。