欧拉函数算法总结

知识概览

欧拉函数 $\varphi (n)$ 为1~n中与n互质的数的个数。
假设一个数N分解质因数后的结果为

         $N = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$

则欧拉函数

         $\varphi (N) = N(1 - \frac{1}{p_1})(1 - \frac{1}{p_2})\cdots (1 - \frac{1}{p_k})$

这可以用容斥原理来证明。

欧拉函数的应用

欧拉定理：若a与n互质，则 $a^{\varphi (n)}\equiv 1(mod \ n)$ 。

费马小定理：欧拉定理中的n为质数p时，可以得到若a与p互质，则 $a^{p - 1}\equiv 1(mod \ p)$         。

例题展示

欧拉函数

题目链接

活动 - AcWing系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/875/

题解

求一个数的欧拉函数的时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$ 。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;while (n--){int a;cin >> a;int res = a;for (int i = 2; i <= a / i; i++)if (a % i == 0){res = res / i * (i - 1);while (a % i == 0) a /= i;}if (a > 1) res = res / a * (a - 1);cout << res << endl;}return 0;
}

线性筛法求欧拉函数

题目链接

活动 - AcWing系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/876/

题解

线性筛法求欧拉函数的时间复杂度为 $O(n)$ 。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1000010;int primes[N], cnt;
int phi[N];
bool st[N];LL get_eulers(int n)
{phi[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++){if (!st[i]){primes[cnt++] = i;phi[i] = i - 1;}for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0){phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];break;}phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);}}LL res = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) res += phi[i];return res;
}int main()
{int n;cin >> n;cout << get_eulers(n) << endl;return 0;
}