目录

1、非参数曲线与曲面

2、方程式曲线与曲面

3、参数曲线与曲面

3.1平面参数曲线

3.2空间参数曲线

3.3参数曲面

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1、非参数曲线与曲面

非参数曲线曲面是一种与参数曲线曲面相对的概念。在非参数方法中，曲线或曲面不是通过参数方程来定义的，而是通过其他方式，例如直接给出点坐标或者通过离散数据来描述形状。

非参数曲线通常是通过一系列离散的点坐标来定义的。这些点通过插值、拟合或光顺等技术连接起来，形成连续的曲线。非参数曲线方法通常用于表示复杂的自由形状，例如CNC加工中的自由曲线或汽车车身设计中的曲线。

非参数曲面则通常是通过一系列离散的三角形网格或四边形网格来定义的。这些网格通过插值、拟合或光顺等技术连接起来，形成连续的曲面。非参数曲面方法通常用于表示复杂的自由曲面，例如汽车车身表面的设计或复杂的机械零件的表面。

与参数方法相比，非参数方法具有更大的灵活性和自由度，可以更好地适应复杂形状的设计和制造。然而，非参数方法也具有一些挑战和限制，例如数据量大、计算复杂度高、几何连续性和光顺性难以保证等问题。

2、方程式曲线与曲面

对于一条曲线，其上点的各个坐标变量之间满足一定关系，将这种关系以一个方程描述出来，则得到该曲线的方程式表示。对于方程式表示方式（无论是显式还是隐式）存在下述问题：

①与坐标轴相关；

②会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；

③对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表示；

④不便于计算机编程。

3、参数曲线与曲面

参数曲线和曲面在数学和工程领域中有着广泛的应用。它们是通过参数方程来描述曲线或曲面形状的方法，其中参数可以是常数、变量或函数。

曲线和曲面的参数表示法有许多优点，具体如下：

几何不变性：参数方程确保曲线的形状与坐标系的选取无关，从而确保了曲线的几何不变性。

易于变换：对参数方程进行变换即可实现对曲线或曲面的变换，方便进行仿射变换和投影变换。

直观的几何意义：参数表示法使曲线的边界容易确定，且参数与曲线上各点的位置相关，具有直观的几何意义。

更大的自由度：参数表示法提供了更大的自由度来控制曲线和曲面的形状，满足各种几何不变性的要求。

易于处理斜率为无穷大的情形：参数表示法能够处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。

易于扩展到高维空间：只需增加分量即可将曲线或曲面从低维空间扩展到高维空间。

易于计算：参数表示法便于计算，例如计算曲线或曲面上的点的切向量、曲率等。

易于进行分段描述：参数表示法便于对曲线或曲面进行分段描述，可以在不同的参数区间内描述不同的曲线或曲面段。

易于作图：只需对不同的参数值求其坐标即可，无需复杂的计算。

易于规定曲线或曲面的范围：通过参数可以更直观地规定曲线或曲面的范围。

参数曲线和曲面的奇异性是一个需要注意的问题。奇异性通常表现为参数方程失去定义或不连续的情况，导致曲线或曲面在某些点或区域失去几何意义。为了避免奇异性，需要仔细选择参数方程的形式和范围，并注意处理特殊点或区域。

3.1平面参数曲线

平面参数曲线通常由一组参数方程表示，例如x=f(t)和y=g(t)，其中t是参数。

3.2空间参数曲线

3.3参数曲面

参数曲面可以表示为x=x(u,v)，y=y(u,v)和z=z(u,v)。参数曲面也可以用来描述各种形状，例如平面、球面、圆柱面等。在工程中，参数曲面常用于计算机图形学、三维建模、机械工程等领域。

参考文献：

1、https://developer.rhino3d.com/guides/general/essential-mathematics/parametric-curves-surfaces/

2、https://zhuanlan.zhihu.com/p/403036279?utm_id=0

3、https://www.cnblogs.com/keguniang/p/9733526.html