【C++进阶05】AVL树的介绍及模拟实现

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一、AVL树的概念

二叉搜索树的缺点
二叉搜索树虽可以缩短查找效率
但如果数据有序或接近有序
二叉搜索树将退化为单支树
查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下

AVL树便是解决此问题

向二叉搜索树中插入新结点
并保证每个结点的左右子树
高度之差的绝对值不超过1
(需要对树中的结点进行调整)
即可降低树的高度，从而减少
平均搜索长度

AVL树或空树
或是具有以下性质的二叉搜索树

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)
的绝对值不超过1(-1/0/1)

AVL树不一定有平衡因子
平衡因子只是其中一种实现方式
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如果一棵二叉搜索树是高度平衡的
它就是AVL树，如果它有n个结点
其高度可保持在 $O(log_2 n)$
搜索时间复杂度O( $log_2 n$ )

二、AVL树实现的基本框架

2.1 AVL树节点的定义

template <class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 三叉链AVLTreeNode<K, V>* _left; AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;//存储的键值对 pair<K, V> _KV;// balance factor 平衡因子int _bf; // 构造函数AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv), left(nullptr), right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}
};

2.2 AVL树的基本结构

template <class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
private:Node* _root = nullptr; // 根节点
};

2.3 AVL树的插入

AVL树插入步骤：

按二叉搜索树的方式插入新节点
更新平衡因子
若平衡因子失衡，需要旋转处理

平衡因子失衡后的旋转处理

更新完, 平衡因子没问题(|bf| <= 1)
平衡因子结构未受影响, 不需要处理
更新完，平衡因子有问题(|bf| > 1)
平衡结构受影响，需要处理(旋转)

原因：

插入新增节点
会影响祖先的平衡因子(全部或部分)
当前节点平衡因子等于
右树节点个数减左树节点个数

cur == parent->right 则parent->bf++
cur == parent->left 则parent->bf–

parent所在子树高度发生变化
则需要继续往上更新爷爷节点
否则就不更新

parent->bf == 1 || parent->bf == -1 
// 则说明parent所在子树变了, 继续更新

插入节点更新平衡因子后分为三种情况

插入前parent->bf == 0
说明插入前左右两边高度相等
插入后有一边高1
说明parent一边高，一边低，高度变了

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2.

parent->bf == 2 || parent->bf == -2

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则说明parent所在子树不平衡
需要处理这颗子树(旋转处理)

parent->bf == 0
parent所在子树高度不变
不用继续往上更新，这一次插入结束
说明插入前parent->bf == 1 or -1
插入前一边高，一边低
插入节点填上矮的那边，高度不变

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三、AVL树的旋转

旋转的原则：
保持它是搜索树

旋转的目的：

让这棵子树平衡
降低这棵子树的高度

左旋过程

30的左子树25变成20的右子树
20变成30的左子树
30变成整棵树的根

实际旋转中的节点值可能不是这些值
但也是按这些点位去旋转的
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根据节点插入位置的不同
AVL树的旋转分为四种：
1. 新节点插入较高左子树的左侧—左左：
右单旋
图中h为子树的高度

2. 新节点插入较高右子树的右侧—右右：
左单旋

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3. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：
先左单旋再右单旋

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将双旋变成单旋后再旋转，即：
先对30进行左单旋
然后再对90进行右单旋

图中只展示了b插入引发双旋的场景
本质有三种引发双旋的场景：

在b插入，b的高度变化+1
在c插入，c的高度变化+1
60本身就是新增节点

旋转完成后再考虑平衡因子的更新
不同场景的插入，60的平衡因子也不同
分别为-1，1，0
且每种场景的插入旋转完后90和30的
平衡因子都不一样
代码的实现通过记录60这个点位的平衡因子
旋转完后
根据不同场景的插入更新90和30的平衡因子

4. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：
先右单旋再左单旋

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参考先左单旋再右单旋

四、插入代码的实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first) // 插入节点比当前节点大往右走, 小往左走{parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}// 链接cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}// new的节点的parent还指向空cur->_parent = parent;// 1. 更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续更新parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 需要旋转处理 --- 1. 让这棵子树平衡 2. 降低这棵子树的高度if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) // parent->right是cur{RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) // parent->{RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break; // 处理完，break，否则会一直循环}else{// 如果插入之前就有问题assert(false);}}return true;
}

五、AVL树旋转代码实现

void RotateL(Node* parent) // 左单旋
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL) // subRL可能为空subRL->_parent = parent;// 旋转的不一定是整棵树Node* pparent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (pparent == nullptr){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;}else{pparent->_right = subR;}subR->_parent = pparent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (pparent == nullptr){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subL;}else{pparent->_right = subL;}subL->_parent = pparent;}parent->_bf = subL->_bf = 0;
}void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);subLR->_bf = 0; // subLR的左一定等于0if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);subRL->_bf = 0;if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}