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力扣递归算法题
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数据结构与算法
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前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的
我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析
2、算法原理思路讲解
3、代码实现
最小路径和
题目链接：最小路径和
题目
给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例 1：
输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]] 输出：7 解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
示例 2：
输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]] 输出：12
提示：
m == grid.lengthn == grid[i].length1 <= m, n <= 2000 <= grid[i][j] <= 200
解法
题目解析
- 给定一个包含非负整数的
m x n网格grid。 - 找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
- 每次只能向下或者向右移动一步。
示例 1：
输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]] 输出：7 解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
算法原理讲解
我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤
- 状态显示
- 状态转移方程
- 初始化（防止填表时不越界）
- 填表顺序
- 返回值
- 状态显示
dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置处，最⼩路径和是多少。
- 状态转移方程
如果dp[i][j] 表⽰到达 到达 [i, j] 位置处的最⼩路径和，那么到达 [i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：
- 从 [i - 1, j] 向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
- 从 [i, j - 1] 向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。
由于到 [i, j] 位置两种情况，并且我们要找的是最⼩路径，因此只需要这两种情况下的最⼩值，再加上 [i, j] 位置上本⾝的值即可。也就是： dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i-1][j-1]
- 初始化（防止填表时不越界）
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点
- 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
- 「下标的映射关系」。
「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤，然后让 dp[0][1] = dp[1][0] = 0 即可。
- 填表顺序
根据「状态转移⽅程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，每⼀⾏「从左往 后」。
- 返回值
根据「状态表⽰」，我们要返回的结果是 dp[m][n]。
代码实现
- 时间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是网格的行数和列数。需要对整个网格遍历一次，计算 dp 的每个元素的值。
- 空间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是网格的行数和列数。创建一个二维数组 dp，和网格大小相同。
- 空间复杂度可以优化，例如每次只存储上一行的 dp 值，则可以将空间复杂度优化到 O(n)。
class Solution {
public:int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {int m = grid.size();int n = grid[0].size();vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));dp[0][1] = dp[1][0] = 0; // 初始化// 填表for (int i = 1; i <= m; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];}}return dp[m][n];}
};
