基础
非竞赛只需要搞懂0-1背包和完全背包
0-1背包基础
0-1背包是完全背包和多重背包的基础
n个物品，每个物品一个，每个物品有自己的重量和价值，，一个背包能装m物品，问最多装多少物品。
暴力解法，n个物品，2^n
dp数组：
可以二维，也可以优化成一维
二维
dp[i][j]: 0-i的0物品任选一个放到背包j中，价值总和最大是多少。
递推公式
dp[i][j]
不放物品i，,物品是 i 背包为j，最大价值，
dp[i-1][j]:不放物品i的最大价值。
放物品i: 物品为i-1{代表从0到i-1中选物品，所以物品i已经被放到背包}
dp[i-1]dp[j-weight[i]+value[i]
{i-1代表0到i个物品，去掉i,
j-weight[i]{代表物品i放入背包，剩下的重量为这个}
value[i] ：物品的价值
dp[i-1][j-weight[i]]代表放入物品i，剩下物品的最大价值
两者相加就是当前背包的最大价值。
物品只有放与不放，所以递推公式:
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],Math.max(dp[i-1][j-weight[i]+value[i]))
初始化
dp[i][j]由上面{dp[i-1][j]}推除，或者左上角推出
还是初始化第一列和第一行
背包容量为0的时候，什么也不能放了，物品0到i都是初始化为0
第一行，这个要初始化的时候要看物品0的重量，如果为3
那么3 4这两个要初始化成value[0]
也就是weight[0]到i初始化成value[0]
遍历顺序
先遍历哪个都可以，因为从左上和上遍历，这两个都可以通过递推公式遍历完
代码
public class BagProblem {public static void main(String[] args) {int[] weight = {1,3,4};int[] value = {15,20,30};int bagSize = 4;testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);}/*** 动态规划获得结果* @param weight 物品的重量* @param value 物品的价值* @param bagSize 背包的容量*/public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){// 创建dp数组int goods = weight.length; // 获取物品的数量int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];// 初始化dp数组// 创建数组后，其中默认的值就是0for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {dp[0][j] = value[0];}// 填充dp数组for (int i = 1; i < weight.length; i++) {for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {if (j < weight[i]) {/*** 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的* 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值*/dp[i][j] = dp[i-1][j];} else {/*** 当前背包的容量可以放下物品i* 那么此时分两种情况：* 1、不放物品i* 2、放物品i* 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大*/dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);}}}// 打印dp数组for (int i = 0; i < goods; i++) {for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {System.out.print(dp[i][j] + "\t");}System.out.println("\n");}}
}0-1背包-一维数组
压缩原理
因为每一层都是由上一层得到的，所以可以先拷贝到，通过滚动数组的形式实现原地修改！
dp数组含义
dp[j] : 容量为j时，背包最大价值为dp[j]
递推公式
不放物品i，因为这个数组是上一层拷贝下来的，上一层比如，物品1，那么这一层是物品2，直接拷贝下来，是不包含物品2的，
所以不妨物品i ：容量为j时，背包的最大价值就是dp[j] {也就是抛去物品i的最大价值}
放物品i时：
容量肯定要编程j-weight[j]的，现在放物品i，当前逻辑就要加上i的价值value[i]
{{{其实从最开始，初始化，后面价值的总和都是加这个value[i]得到的
所以最大价值时dp[j-weight[i]]
所以递推公式为：
dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-weight]+value[i]){物理上就是数组当前位置和左面-weight位置}
初始化
容量为0 那么价值肯定0
所以初始化，dp[0]=0;
非0 的话，会被覆盖，默认为0就可
遍历顺序
现在数组是上一层的结果，想要倒叙遍历得到才是正常的计算
代码
public static void main(String[] args) {int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWight = 4;testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);}public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){int wLen = weight.length;//定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值int[] dp = new int[bagWeight + 1];//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量for (int i = 0; i < wLen; i++){for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}//打印dp数组for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){System.out.print(dp[j] + " ");}}416. 分割等和子集
416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode）
class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {if(nums == null || nums.length == 0) return false;int sum = 0;for(int num : nums) {sum += num;}if(sum%2!=0) return false;int target = sum/2;//dp数组 ：含义：容量为j时，最大价值为dp[j]int [] dp = new int[target+1];//初始化//默认为0即可//遍历顺序//先遍历物品for(int i = 0;i<nums.length;i++){for(int j = target;j>=nums[i];j--){//递推公式dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}}return dp[target] == target;}}
