知识概览

• 裴蜀定理：对于任意正整数a，b，一定存在非零整数x，y，使得

        

        而且(a, b)是a和b能凑出来的最小的正整数。

• 通过扩展欧几里得算法可以求得裴蜀定理中x和y的值，x和y的通解为

         ，

例题展示

扩展欧几里得算法

题目链接

活动 - AcWing系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/879/

代码

#include <iostream>using namespace std;int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if (!b){x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= a / b * x;return d;
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while (n--){int a, b, x, y;scanf("%d%d", &a, &b);exgcd(a, b, x, y);printf("%d %d\n", x, y);}return 0;
}

算法的应用：线性同余方程

题目链接

活动 - AcWing系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/880/

题解

可以转化为ax + my = b的形式，然后使用扩展欧几里得算法求解。

代码

#include <iostream>using namespace std;typedef long long LL;int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if (!b){x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= a / b * x;return d;
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while (n--){int a, b, m;scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);int x, y;int d = exgcd(a, m, x, y);if (b % d) puts("impossible");else printf("%d\n", (LL)x * (b / d) % m);}return 0;
}

参考资料

1. AcWing算法基础课