知识概览
- 裴蜀定理：对于任意正整数a，b，一定存在非零整数x，y，使得
而且(a, b)是a和b能凑出来的最小的正整数。
- 通过扩展欧几里得算法可以求得裴蜀定理中x和y的值，x和y的通解为
，
例题展示
扩展欧几里得算法
题目链接
活动 - AcWing系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。
https://www.acwing.com/problem/content/879/
代码
#include <iostream>using namespace std;int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if (!b){x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= a / b * x;return d;
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while (n--){int a, b, x, y;scanf("%d%d", &a, &b);exgcd(a, b, x, y);printf("%d %d\n", x, y);}return 0;
}算法的应用：线性同余方程
题目链接
活动 - AcWing系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/880/
题解
可以转化为ax + my = b的形式，然后使用扩展欧几里得算法求解。
代码
#include <iostream>using namespace std;typedef long long LL;int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if (!b){x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= a / b * x;return d;
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while (n--){int a, b, m;scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);int x, y;int d = exgcd(a, m, x, y);if (b % d) puts("impossible");else printf("%d\n", (LL)x * (b / d) % m);}return 0;
}参考资料
- AcWing算法基础课
)
