A.Wallet Exchange(思维)
题意:
Alice
和Bob
各自拥有 a , b a,b a,b枚硬币,他们决定以Alice
为先手开始比赛,比赛中每人在每轮需按顺序执行操作1和操作2:
-
操作1:交换两人手上拥有的硬币数量,或什么都不做
-
操作2:丢掉手上的一枚硬币(如果此时手上没有硬币则输掉比赛)
问:假设两人都极为聪明,那么谁会赢下这场比赛?
分析:
实际上对于操作1,比赛两方均会选择硬币较多的一堆,因此,可以将硬币视为只有一堆,共 n n n枚,其中 n = a + b n = a + b n=a+b,Alice
和Bob
按顺序从这堆硬币中丢弃硬币。
此时若硬币数量 n n n为偶数时,必然是后手丢掉最后一枚硬币,即Bob
获胜,反之,先手Alice
获胜。
代码:
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;void solve() {int a, b;cin >> a >> b;if ((a + b) % 2 == 0) {cout << "Bob" << endl;} else {cout << "Alice" << endl;}
}int main() {int Case;cin >> Case;while (Case--) {solve();}return 0;
}
B.Plus-Minus Split(贪心)
题意:
给出一个包含 n n n个字符的字符串 s s s,字符串中仅包含字符-
或+
,其中-
代表 − 1 -1 −1,+
代表 1 1 1。
你可以进行以下步骤来计算罚分:
-
将字符串 s s s分为若干子子串 b 1 , b 2 , . . . , b k b_1, b_2, ..., b_k b1,b2,...,bk。
-
对于字符串 c c c产生的罚分为 p ( c ) = ∣ c 1 + c 2 + . . . + c m ∣ ⋅ m p(c) = |c_1 + c_2 + ... + c_m| \cdot m p(c)=∣c1+c2+...+cm∣⋅m
-
产生的总罚分为 p ( s ) = p ( b 1 ) + p ( b 2 ) + . . . + p ( b k ) p(s) = p(b_1) + p(b_2) + ... + p(b_k) p(s)=p(b1)+p(b2)+...+p(bk)。
问:最小可能的罚分是多少?
分析:
为了最小化罚分,需要尽可能多的将正负号进行匹配,即若干子拆出的子串中正负号出现次数相同,但字符串中正负号数量并不一定相同,那么剩下的正号或负号依然会产生罚分,此时为了最小化罚分,必然选择这些正负号自身为一个子串,假设存在 a a a个 + + +号, b b b个 − - −号,那么最小罚分为 a + b − 2 × m i n ( a , b ) a + b - 2 \times min(a, b) a+b−2×min(a,b)。
代码:
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;void solve() {int n;string s;cin >> n >> s;int add = 0, sub = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {if (s[i] == '-') sub++;else add++;}cout << n - 2 * min(add, sub) << endl;
}int main() {int Case;cin >> Case;while (Case--) {solve();}return 0;
}
C.Grouping Increases(贪心)
题意:
给出一个包含 n n n个数字的数组 a a a,你需要按以下要求计算罚分:
-
将数组 a a a分为两个子序列 s , t s, t s,t(可能有个子序列为空)。
-
对于一个包含 m m m个数字的数组 b b b,产生的罚分 p ( b ) = ∑ i = 1 m − 1 f ( i ) p(b) = \sum\limits_{i = 1}^{m - 1}f(i) p(b)=i=1∑m−1f(i),其中 f ( i ) f(i) f(i)为满足 b i < b i + 1 b_i < b_{i + 1} bi<bi+1则为 1 1 1,不满足则为 0 0 0。
-
总罚分为 p ( s ) + p ( t ) p(s) + p(t) p(s)+p(t)
问:最小可能的罚分是多少?
分析:
由于对于子序列的罚分计算只考虑相邻的两个数字,那么只需要维护两个子序列最后的元素。
令 b b b为两个子序列中最后元素中的较小值, c c c为较大值,并按以下要求检查 a i a_i ai该加入哪个子序列:
-
如果 a i ≤ b a_i \le b ai≤b,那么 a i a_i ai将会加入最后元素较小的序列,即 b = a i b = a_i b=ai。
-
否则,再检查是否满足 a i ≤ c a_i \le c ai≤c,如果满足,则将 a i a_i ai加入最后元素较大的序列,即 c = a i c = a_i c=ai。
-
如果以上两种情况均不满足,那么此时必然产生一点罚分,并且为了使之后的罚分尽可能小,当前数字 a i a_i ai必然会加入尾部元素较小的序列,即 b = a i b = a_i b=ai
代码:
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int a[200005];void solve() {int n;cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];int b = 1e9, c = 1e9, ans = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {if (b > c) {swap(b, c);}if (a[i] <= b) {b = a[i];} else if (a[i] <= c) {c = a[i];} else {b = a[i];ans++;}}cout << ans << endl;
}int main() {int Case;cin >> Case;while (Case--) {solve();}return 0;
}
D.01 Tree(思维)
题意:
有一棵包含 n n n个叶节点的树,保证每个非叶节点均包含两个子节点,同时,对于所有非叶节点,走向子节点的边中均包含权值,且其中一条权值为 0 0 0,另一条权值为 1 1 1。
你忘记了原本的树是什么样子的,只记得根节点到这 n n n个叶节点的权值之和,按dfs
序给出这些叶节点的权值,问是否存在满足这些节点权值的树。
分析
由于每个非叶节点与子节点之间的边权分别为 0 , 1 0, 1 0,1,那么属于同一个父节点的两个节点的权值之差必然为 1 1 1,且权值较小的一个与父节点的权值一致,由此可知如果给出的叶节点合法,那么必然存在且仅存在一个叶节点的权值为 0 0 0。
同时,由于叶节点以dfs
序给出,那么属于同一个父节点的两个叶节点在dfs
序中也必然相邻,为了便于处理,使用静态双向链表将 1 ∼ n 1 \sim n 1∼n这些节点按顺序连在一起。
由于非叶节点的权值与两个子节点的权值较小者相同,那么如果同时删除它的两个子节点(这两个子节点均为叶节点),该节点也会变成叶节点,为了便于处理,可以在操作时仅删除权值较大的节点,将另一个子节点视为删除后新产生的叶节点。
然后考虑从叶节点开始向上删除节点,按以下步骤执行:
-
删除的节点,它在
dfs
序中相邻的两个节点中,必然存在一个节点的权值比它小 1 1 1(树上仅会存在一个权值为 0 0 0的节点,其他节点权值均大于 0 0 0),此时可以将节点视为待删除节点,放入大根堆中等待删除 -
当从大根堆取出节点后,就需要对该节点进行删除操作了,由于该节点存储在静态双向链表上,那么需要同时修改前后节点的指针。
-
然后检查当前节点删除后,左右两边相邻的节点能否进入待删除状态,如果能,就将节点也加入堆中。
删除完成后,如果仅剩下一个权值为 0 0 0的节点未被删除,那么就表示存在满足要求的树,否则,找不到满足要求的树。
代码:
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int n, a[200005], pre[200005], nxt[200005], vis[200005];
struct Node{int id, val;bool operator < (const Node &o) const {if (val != o.val) return val < o.val;return id > o.id;}
};priority_queue<Node> Q;int check(int x) {return x >= 1 && x <= n && (a[pre[x]] == a[x] - 1 || a[nxt[x]] == a[x] - 1);
}void solve() {cin >> n;int zero = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];pre[i] = i - 1;nxt[i] = i + 1;vis[i] = 0;if (a[i] == 0) zero++;}/*a[0]和a[n + 1]取-1时可能会导致a[1]=0或a[n]=0的情况入队,因此取不影响答案的-2*/a[0] = a[n + 1] = -2;if (zero == 0) {cout << "NO" << endl;return;}for (int i = 1; i <= n; i++) {/*找开始时就能进入待删除状态的节点*/if (check(i)) {vis[i] = 1;Q.push(Node{i, a[i]});}}while (!Q.empty()) {Node u = Q.top();Q.pop();/*相当于双向链表中删点,需将前后连起来*/nxt[pre[u.id]] = nxt[u.id];pre[nxt[u.id]] = pre[u.id];/*检查左右的节点能否进入待删除状态*/if (vis[nxt[u.id]] == 0 && check(nxt[u.id])) {vis[nxt[u.id]] = 1;Q.push(Node{nxt[u.id], a[nxt[u.id]]});}if (vis[pre[u.id]] == 0 && check(pre[u.id])) {vis[pre[u.id]] = 1;Q.push(Node{pre[u.id], a[pre[u.id]]});}}/*由于权值为0的节点必然不会被删除,那么只需要判断剩余的节点数量.如果为1,那么剩下的节点权值必然为0*/int cnt = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (vis[i] == 0) {cnt++;}}if (cnt == 1) cout << "YES" << endl;else cout << "NO" << endl;
}int main() {int Case;cin >> Case;while (Case--) {solve();}return 0;
}
E. 更新中…
F1.Wine Factory (Easy Version)(后缀和,线段树)
题意:
有 n n n座水塔,其中第 i i i座包含 a i a_i ai升的水,且拥有一个能消除 b i b_i bi升水的法师,同时相邻两座水塔之间拥有一道阀门,第 i i i座高塔与第 i + 1 i + 1 i+1座水塔之间的阀门允许通过 c i c_i ci升水。
对于第 i ( i = 1 , 2 , . . . , n ) i(i = 1, 2, ..., n) i(i=1,2,...,n)座塔,将会进行以下操作:
-
法师将水塔 i i i中最多 b i b_i bi升的水消除,并将消除的水转化为等量的红酒。
-
如果 i ≠ n i \ne n i=n,那么至多 c i c_i ci升水可以由阀门流到第 i + 1 i + 1 i+1座水塔。
题目将给出 q q q次更新,每次给出四个数字 p , x , y , z p, x, y, z p,x,y,z,即将 a p = x , b p = y , c p = z a_p = x, b_p = y, c_p = z ap=x,bp=y,cp=z,并要求对于每次更新,输出最多能获得多少升红酒。
特殊条件:对于所有数据,有 c i = 1 0 18 , z = 1 0 18 c_i = 10^{18}, z = 10^{18} ci=1018,z=1018
分析:
对于特殊条件, c i , z c_i, z ci,z均为 1 0 18 10^{18} 1018,由于 ∑ i = 1 n m a x ( a i ) = 5 × 1 0 14 < 1 0 18 \sum\limits_{i = 1}^{n}max(a_i) = 5 \times 10^{14} < 10^{18} i=1∑nmax(ai)=5×1014<1018,那么如果水塔中的水没有被全部消除,则剩下的水均能流到下一座高塔,即可以不考虑 c i c_i ci这个限制因素。
先考虑每座水塔自身无法消除的水量: v i = a i − b i v_i = a_i - b_i vi=ai−bi,当 v i > 0 v_i > 0 vi>0时,未被消除的水量必然需要由后面的法师来进行消除(如果可以的话),因此对于水塔 k k k而言,无法消除的水量实际为 f ( k ) = ∑ i = k n v i f(k) = \sum\limits_{i = k}^{n}v_i f(k)=i=k∑nvi。那么对于所有水塔来说,无法消除的水量即为 m a x ( f ( 1 ) , f ( 2 ) , . . . , f ( n ) ) max(f(1), f(2), ..., f(n)) max(f(1),f(2),...,f(n))。
使用后缀和建一棵线段树,维护区间上的最大值,并使用变量 s u m sum sum记录水塔的总水量。
每次更新水塔 p p p时,由于线段树维护的是后缀和,那么对于所有 ( p + 1 ) ∼ n (p + 1) \sim n (p+1)∼n上的点,均不会收到影响,只需要对区间 1 ∼ p 1 \sim p 1∼p进行更新,先减去原本的 v p v_p vp,再加上当前更新后的新 v p = x − y v_p = x - y vp=x−y。
那么最后的答案就是 s u m − m a x ( f ( 1 ) , f ( 2 ) , . . . , f ( n ) ) sum - max(f(1), f(2), ..., f(n)) sum−max(f(1),f(2),...,f(n)),其中 m a x ( f ( 1 ) , f ( 2 ) , . . . , f ( n ) ) max(f(1), f(2), ..., f(n)) max(f(1),f(2),...,f(n))为线段树树根中记录的信息。
代码:
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 5e5 + 5e2;LL n, q, a[N], b[N];
LL sum, T[N << 2], lazy[N << 2], c[N], v[N], sv[N];void pushup(int x) {T[x] = max(T[x << 1], T[x << 1 | 1]);
}void build(int l, int r, int x) {if (l == r) {T[x] = sv[l];return;}int mid = l + r >> 1;build(l, mid, x << 1);build(mid + 1, r, x << 1 | 1);pushup(x);
}void pushdown(int x) {if (lazy[x]) {lazy[x << 1] += lazy[x];lazy[x << 1 | 1] += lazy[x];T[x << 1] += lazy[x];T[x << 1 | 1] += lazy[x];lazy[x] = 0;}
}void update(int l, int r, int x, int ul, int ur, LL val) {if (l >= ul && r <= ur) {T[x] += val;lazy[x] += val;return;}pushdown(x);int mid = l + r >> 1;if (ul <= mid) update(l, mid, x << 1, ul, ur, val);if (ur > mid) update(mid + 1, r, x << 1 | 1, ul, ur, val);pushup(x);
}void solve() {cin >> n >> q;sum = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];for (int i = 1; i < n; i++) cin >> c[i];for (int i = n; i >= 1; i--) {v[i] = a[i] - b[i];sv[i] = v[i] + sv[i + 1];sum += a[i];}build(1, n, 1);while (q--) {int p, x, y;LL z;cin >> p >> x >> y >> z;sum -= a[p];//减去原本的水量/*减掉原本的vp*/update(1, n, 1, 1, p, -v[p]);a[p] = x;b[p] = y;v[p] = x - y;//更新vpsum += a[p];//加上现在的水量/*加上现在的vp*/update(1, n, 1, 1, p, v[p]);/*出现负数说明所有水均能消除,此时需要减去的值为0,需取max*/cout << sum - max(0ll, T[1]) << endl;}
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);int Case = 1;while (Case--) {solve();}return 0;
}
学习交流
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