二分查找

二分查找(binary search)是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性,每轮缩小一半搜索范围,直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

例:给定一个n 的数组 nums ,元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素,则返回 −1 。示例如图所示。

如上图所示,我们先初始化指针 i=0 和 j=n−1 ,分别指向数组首元素和尾元素,代表搜索区间 [0,n−1] 。请注意,中括号表示闭区间,其包含边界值本身。

接下来,循环执行以下两步。

  1. 计算中点索引 m= ⌊(i+j)/2⌋,其中 ⌊⌋ 表示向下取整操作。
  2. 判断 nums[m] 和 target 的大小关系,分为以下三种情况。                                                    当 nums[m] < target 时,说明 target 在区间 [m+1,] 中,因此执行 i=m+1 。        当 nums[m] > target 时,说明 target 在区间 [i,m−1] 中,因此执行 j=m−1 。        当 nums[m] = target 时,说明找到 target ,因此返回索引m 。

若数组不包含目标元素,搜索区间最终会缩小为空。此时返回 −1 。

值得注意的是,由于i 和 j 都是 int 类型,因此 i+j 可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界,我们通常采用公式 m=⌊i+(j−i)/2⌋ 来计算中点。

/* 二分查找(双闭区间) */
int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {// 初始化双闭区间 [0, n-1] ,即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素int i = 0, j = nums.size() - 1;// 循环,当搜索区间为空时跳出(当 i > j 时为空)while (i <= j) {int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 mif (nums[m] < target)    // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中i = m + 1;else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中j = m - 1;else // 找到目标元素,返回其索引return m;}// 未找到目标元素,返回 -1return -1;
}

时间复杂度为O(log⁡n) :在二分循环中,区间每轮缩小一半,循环次数为log_{2}n⁡。

空间复杂度为O(1) :指针 i 和 j 使用常数大小空间。

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