447. 回旋镖的数量
题目描述
给定平面上 **
n
**对 互不相同 的点points
,其中points[i] = [xi, yi]
。回旋镖 是由点(i, j, k)
表示的元组 ,其中i
和j
之间的距离和i
和k
之间的欧式距离相等(需要考虑元组的顺序)。返回平面上所有回旋镖的数量。
原始思路
根据题目描述,所谓回旋镖就是对于一个点i
,存在另外两个点到该点的距离相等。
以下图为例,点(0,0)
到(0,2)
、(2,0)
的距离是相通的,这就是一个回旋镖。同样的,点(2,2)
与(0,2)
、(2,0)
也构成一个回旋镖。
大概理解题目的含义后,最直接的想法就是遍历,通过三重遍历分辨判断是否为回旋镖,最后的统计数目就是需要的结果。代码实现如下:
class Solution {
private:// 判断点i与点j、点k是否构成回旋镖// ps:这里省略了开方运算bool isBoomeranges(vector<int>& i, vector<int>& j, vector<int>& k) {return ((j[1] - i[1]) * (j[1] - i[1])) + ((j[0] - i[0]) * (j[0] - i[0])) == ((k[1] - i[1]) * (k[1] - i[1])) + ((k[0] - i[0]) * (k[0] - i[0]));}
public:int numberOfBoomerangs(vector<vector<int>>& points) {int res = 0;int pointNum = points.size();for(int i = 0;i < pointNum;++i) {for(int j = 0;j < pointNum;++j) {for(int k = 0;k < pointNum;++k) {if(i == j || i == k || j == k) {// 同一个点不算continue;}if(isBoomeranges(points[i], points[j], points[k])) {++res;}}}}return res;}
};
三重循环,不出意外地超时了……
试图挽回,空间换时间
三重循环每次都要计算距离,肯定是做了很多重复运算的,或许可以用空间换时间,
尝试代码如下:
class Solution {
public:int numberOfBoomerangs(vector<vector<int>>& points) {int res = 0;int pointNum = points.size();vector<vector<long>> dis(pointNum, vector<long>(pointNum, 0)); // 记录点与点之间的“距离”for(int i = 0;i < pointNum;++i) {for(int j = i + 1;j < pointNum;++j) {dis[j][i] = dis[i][j] = ((points[j][1] - points[i][1]) * (points[j][1] - points[i][1])) + ((points[j][0] - points[i][0]) * (points[j][0] - points[i][0]));}}for(int i = 0;i < pointNum;++i) {for(int j = 0;j < pointNum;++j) {for(int k = 0;k < pointNum;++k) {if(i == j || i == k || j == k) {continue;}if(dis[i][j] == dis[i][k]) {++res;}}}}return res;}
};
结果从通过25个测试用例提升到通过28个。改善了,但又没完全改善。
到这里,意识到应该是解决方案本身的时间复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)就太高了。
回归本源,方法为王
虽然上面的思路简单易懂,但也把我带入“歧途”,没有深入审视题目中的含义。
所以遍历思路走到尽头后,不得不重新审视题目。
三重循环中有很多计算是重复的,还是以开头的例子做讲解,对于点(1,1)
,它需要分别判断:
- 与
(0,0)
、(0,2)
是否构成回旋镖 - 与
(0,0)
、(2,2)
是否构成回旋镖 - 与
(0,0)
、(2,0)
是否构成回旋镖 - 与
(0,2)
、(0,0)
是否构成回旋镖 - 与
(0,2)
、(2,2)
是否构成回旋镖 - 与
(0,2)
、(2,0)
是否构成回旋镖 - 与
(2,2)
、(0,0)
是否构成回旋镖 - 与
(2,2)
、(0,2)
是否构成回旋镖 - 与
(2,2)
、(2,0)
是否构成回旋镖 - 与
(2,0)
、(0,0)
是否构成回旋镖 - 与
(2,0)
、(0,2)
是否构成回旋镖 - 与
(2,0)
、(2,2)
是否构成回旋镖
在这个过程中,(1,1)
和(0,0)
、(0,2)
、(2,2)
、(2,0)
的距离,分别被算了6遍。
但实际上,(1,1)
到这四个点的距离都是相同的,任取两个点都能和(1,1)
构成回旋镖,再加上顺序敏感的题目要求(既 [ ( 1 , 1 ) , ( 0 , 0 ) , ( 0 , 2 ) ] [(1,1),(0,0),(0,2)] [(1,1),(0,0),(0,2)]与 [ ( 1 , 1 ) , ( 0 , 2 ) , ( 0 , 0 ) ] [(1,1),(0,2),(0,0)] [(1,1),(0,2),(0,0)]是两个回旋镖),利用排列数计算就能替代多余计算。
所以,对于某个点i
,只需统计其他点与i
之间的距离,然后利用排列数就可以计算出回旋镖的数目。
比如上面的例子中,距离为 2 \sqrt{2} 2的点对有4个,那么 A 4 2 = 4 × 3 = 12 A^2_4 = 4 \times 3 = 12 A42=4×3=12。
算法步骤:
- 遍历所有点
- 对于某个点
i
,统计与其他点的距离长度 - 对每个距离长度的数目,计算排列数
- 所有排列数之和即为答案
class Solution {
private:int distance(const vector<int>& p1, const vector<int>& p2) {// 计算两点之间的“距离”return (p1[0] - p2[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (p1[1] - p2[1]) * (p1[1] - p2[1]);}
public:int numberOfBoomerangs(vector<vector<int>>& points) {int res = 0;int pointNum = points.size();for(int i = 0;i < pointNum;++i) {// 遍历所有点unordered_map<int, int> disNumMp;for(int j = 0;j < pointNum;++j) {// 统计该点与其他之间距离长度的数目// 只有该点自己到自己的长度为0,所以0对应的数目一定为0,不影响最终结果计算,无需剔除++disNumMp[distance(points[i], points[j])];}for(auto it = disNumMp.begin();it != disNumMp.end();++it) {// 计算排列数res += (it->second * (it->second - 1));}}return res;}
};
小感悟
有些时候,人容易对一开始选择的路径产生依赖,不推倒重来就难以跳脱。
审慎的思考和选择或许可以避免弯路,但更多时候还是要走到南墙才能意识到选择的对错。
所以,要有审慎选择的过程,也要有推倒重来的勇气!