每周一算法:倍增法查找位置

倍增法

倍增法(Binary Lifting),顾名思义,就是利用“以翻倍的速度增长”的思想来解决问题的一类算法,它能够使线性的处理转化为对数级的处理,大大地优化时间复杂度。这个方法在很多算法中均有应用,其中最常用的是 RMQ 问题和求 LCA(最近公共祖先)。

下面介绍如何使用倍增法在有序的序列中查找满足条件的位置。

题目描述

给定一个单调不降的序列,以及 m m m个查询,每个查询是一个数字 k k k,查找第一个大于等于 k k k的位置。

输入格式

第一行 n n n m m m

第二行 n n n 个元素的序列;

第三行 m m m 个数字,表示 m m m 个查询的 k k k, 每个查询的 k k k,确保在序列的最大值范围内。

输出格式

m m m 个数字,表示第一个大于等于 k k k 的位置,用空格隔开。

样例输入

10 1 
1 2 3 4 6 6 6 8 9 10
6

样例输出

5

数据范围

  • 20%的数据, 1 ≤ n , m ≤ 1000 1\le n,m\le 1000 1n,m1000
  • 100%的数据, 1 ≤ n , m ≤ 1 0 5 1\le n,m\le 10^5 1n,m105 1 ≤ 1\le 1所有元素 ≤ 1 0 9 \le 10^9 109,所有 1 ≤ k ≤ 1\le k \le 1k序列最大值

算法思想

在单调不降的序列中查找一个大于等于 k k k 的位置,朴素的做法是从位置 1 1 1开始判断,不满足要求则每次向右移动 1 1 1个位置,重复进行直到找到满足条件的位置,时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)

倍增法也从位置 1 1 1开始判断,如果该位置上的数小于 k k k,则将移动的距离增加 1 1 1,然后向右移动;否则,如果该位置上的数大于等于 k k k,则将移动的距离减半,继续判断。重复进行直到不能移动为止,时间复杂度为 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)

移动过程如下图所示:
在这里插入图片描述
查找结束后会停留在最后一个小于 k k k的位置上。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10;
int a[N];
int main()
{int n, m, k;scanf("%d%d", &n, &m);for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", a + i);while(m --) {scanf("%d", &k);//x表示位置,p表示增加距离int x = 0, p = 1;while(p != 0) {//x位置上的数小于k,则将移动的距离增加1倍if(x + p <= n && a[x + p] < k) {x += p;p *= 2;}//x位置上的数大于等于k,则将移动的距离减半else p /= 2;}//x最终停留在最后一个小于k的位置上,应输出x + 1printf("%d ", x + 1); }
}

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