求两个数之间的最小公约数

目录

前言

方法：求两个数之间的最小公约数

1.欧几里得算法

2.枚举法

3.公共因子积

4.更相减损术

5.Stein算法

解题：在链表中插入最大公约数

总结

前言

今天刷每日一题：2807. 在链表中插入最大公约数 - 力扣（LeetCode），就在想怎么求两个数之间的最小公约数，然后发现求两个数的最大公约数（五种方法）-CSDN博客

这个博客总结的得很好但也有点自己的想法，于是记录下来，我也是真的超爱写博客了。

方法：求两个数之间的最小公约数

1.欧几里得算法

欧几里德算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。是由古希腊数学家欧几里德在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里德算法。

大致过程如下：

1997 / 615 = 3 (余 152)
615 / 152 = 4 (余7)
152 / 7 = 21(余5)
7 / 5 = 1 (余2)
5 / 2 = 2 (余1)
2 / 1 = 2 (余0)

1997 % 615 = 152
615 % 152 = 7
152 % 7 = 5
7 % 5 = 2
5 % 2 = 1
2 % 1 = 0

至此，最大公约数为1。
以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

观察数就可以得出其算法实现是：

/*** 利用 欧几里得算法 求 m 和 n 的最大公约数** @param m m* @param n n* @return m 和 n 的最大公约数*/
public int gcd(int m, int n) {while (n != 0) {int temp = m % n;m = n;n = temp;}return m;
}

需要注意的是，在参考的博客说m>=n是此算法的必要条件，其实不然，因为就算m<n，经过一次计算后也会使得m>=n，这是算法使然，只是m<n时，这个算法的第一次会失效，重排序去了。因此，m,n可以任意输入。

2.枚举法

给出 m 和 n，首先求出 m 和 n 的最小值赋值给临时变量 t，然后对 t 依次递减，如果 m 除以 t 的余数为 0，并且 n 除以 t 的余数为 0，此时 t 就是 m 和 n 的最大公约数。

这里依然以刚刚的1997和615为例，如果按照枚举法去计算，代码就从t=615依次执行到2，（615-2+1）次，显然效率极低。

算法实现如下:

/*** 通过遍历的方式来求 m 和 n 的最大公约数** @param m m* @param n n* @return m 和 n 的最大公约数*/
public int gcd2(int m, int n) {// 第一步:将 min{m, n}的值赋值给 tint t = Math.min(m, n);for (; t >= 2; t--) {// 第二步和第三步,如果 m 除以 t 余数为 0 并且 n 除以 t 余数为 0,直接返回 tif (m % t == 0 && n % t == 0) {return t;}// 否则 t--,返回第二步和第三步}return 1;
}

3.公共因子积

计算两个数字的公共因子积。

第一步:找出 m 的全部质因数
第二步:找出 n 的全部质因数
第三步:从第一步和第二步求得的质因数分解式中找出所有的公因数(如果p是一个公因数,而且在m和n的质因数分解式分别出现过pm和pn 次,那么应该将p重复min{pm, pn}次).
第四步:将第三步中找到的质因数相乘,其结果作为给定数字的最大公约数.

这个太太太繁琐了，完全没必要。看看就得了。

    public int gcd3(int m, int n) {Instant start = Instant.now();int[] marr = factorArr(m);int[] narr = factorArr(n);// ---------------------------------------------------------------------// 处理两个数组的公共元素// ---------------------------------------------------------------------// 求出 marr 和 narr 的最大值Map<Integer, Integer> mMap = new HashMap<>(marr.length);Map<Integer, Integer> nMap = new HashMap<>(narr.length);// 处理 marrfor (int i = 0; i < marr.length; ) {int index = i;int count = 0;while (index < marr.length && marr[index] == marr[i]) {count++;index++;}mMap.put(marr[i], count);i = index;}// 处理 narrfor (int i = 0; i < narr.length; ) {int index = i;int count = 0;while (index < narr.length && narr[index] == narr[i]) {count++;index++;}nMap.put(narr[i], count);i = index;}int sum = 1;// 可以遍历任意一个 map ，来找出公共元素的个数for (Map.Entry<Integer, Integer> entry : mMap.entrySet()) {// 取出 valueint value = entry.getKey();// 取出个数int count = entry.getValue();// 取出另外一个集合中对应 value 值出现的次数int anotherCount = nMap.get(value) == null ? 0 : nMap.get(value);// 两个因子数组相同因子出现次数的较小值int minCount = Math.min(count, anotherCount);sum *= minCount * value == 0 ? 1 : Math.pow(value, minCount);}return sum;}/*** 返回 value 的全部因子,以数组的形式返回** @param value value 值* @return value 的全部因子,以数组的形式返回*/private int[] factorArr(int value) {List<Integer> list = new ArrayList<>();for (int i = 2; i <= Math.sqrt(value); i++) {if (value % i == 0) {list.add(i);value /= i;i--;}}return list.stream().mapToInt(Integer::valueOf).toArray();}

4.更相减损术

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

/*** 使用更相减损法求 m 和 n 的最大公约数** @param m 数字 m* @param n 数字 n* @return m 和 n 的最大公约数*/
public int gcd4(int m, int n) {// 两个数字不相等时，继续进行运算，while (m != n) {if (m > n) m -= n;else n -= m;}return m;
}

这个也很简洁，但也没有取余来得高效。

5.Stein算法

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来：一般实际应用中的整数很少会超过64位（当然现在已经允许128位了），对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，比如说RSA加密算法至少要求500bit密钥长度，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法。

讲实话，这个我还没搞得太懂，需要之后好好看看，对于较大数字用这个。

递归：

/*** 求两个正整数的最大公因数* <p>* 结合辗转相除法和更相减损法的优势以及移位运算* * 结合辗转相除法和更相减损法的优势以及移位运算* 对 m 和 n 分四种情况* 如果 m 为偶数 n 为偶数, gcd(m, n) = gcd(m >> 1, n >> 1) << 1;* 如果 m 为偶数 n 为奇数, gcd(m, n) = gcd(m >> 1, n);* 如果 m 为奇数 n 为偶数, gcd(m, n) = gcd(m, n >> 1);* 如果 m 为奇数 n 为奇数, gcd(m, n) = gcd(n, m - n);** @param m 数字 m* @param n 数字 n* @return 返回 m 和 n 的最大公因数*/
public int gcd5(int m, int n) {// 这个地方也是利用到更相减损术if (m == n) {return m;}// 为了保证较大的数始终在前面，减少了代码if (n > m) {return gcd5(n, m);} else {if (((m & 1) == 0) && ((n & 1) == 0)) {// 两数都是偶数return gcd5(m >> 1, n >> 1) << 1;} else if ((m & 1) == 0 && (n & 1) != 0) {// m为偶数，n为奇数return gcd5(m >> 1, n);} else if ((m & 1) != 0 && (n & 1) == 0) {// m为奇数，n为偶数return gcd5(m, n >> 1);} else {// 当两个数都为奇数时，应用更相减损法// 这个位置利用到了更相减损术return gcd5(n, m - n);}}
}

非递归：

/*** Stein 算法的非递归实现* * @param m m* @param n n* @return  m 和 n 的最大公因子*/
public int steinGCD(int m, int n) {int count = 0;if (m < n) return steinGCD(n , m);while ((m & 1) == 0 && (n & 1) == 0) {count++;m >>= 1;n >>= 1;}while (m != n) {while ((m & 1) == 0) m >>= 1;while ((n & 1) == 0) n >>= 1;if (m < n) {m ^= n;n ^= m;m ^= n;}// 进行一次更相减损术int temp = m - n;m = n;n = temp;}return m << count;
}

解题：在链表中插入最大公约数

这里链表插入删除的逻辑还是很好做的，要注意的是这个while的条件：current != null && current.next != null

这里的gcd函数就是用来求最小公约数的（刚说的几种都可试试）。

/*** Definition for singly-linked list.* public class ListNode {*     int val;*     ListNode next;*     ListNode() {}*     ListNode(int val) { this.val = val; }*     ListNode(int val, ListNode next) { this.val = val; this.next = next; }* }*/
class Solution {public ListNode insertGreatestCommonDivisors(ListNode head) {ListNode current = head;while (current != null && current.next != null) {ListNode next = current.next;int gcdValue = gcd(current.val, next.val);// 在相邻节点之间插入新节点ListNode newNode = new ListNode(gcdValue);newNode.next = next;current.next = newNode;// 更新 current 指针到下一个相邻节点current = next;}return head;}/*** 计算两个数的最大公约数** @param a 第一个数* @param b 第二个数* @return 最大公约数*/private int gcd(int a, int b) {while (b != 0) {int temp = a % b;a = b;b = temp;}return a;}
}