问题 H: 取余运算

题目描述

输入b，p，k的值，求b^p mod k的值（即b的p次方除以k的余数）。其中b，p，k*k为32位整数。

输入

输入b，p，k的值

输出

输出b^p mod k的值

样例输入

2 10 9

样例输出

2^10 mod 9=7

方法一：

分治策略求解：

问题分析

递归方法:
- 使用递归函数 ans 来分解幂运算，这是一种分治策略。
- 递归方法允许将问题分解为更小的子问题，这些子问题更容易解决。
处理基本情况:
- 当 p 等于 1 或 2 时，有特定的返回条件，这些是递归的基本情况。
偶数和奇数幂:
- 当 p 是偶数时，b^p 可以分解为 (b^(p/2))^2。
- 当 p 是奇数时，b^p 可以分解为 (b^(p/2))^2 * b。
模运算的性质:
- 利用模运算的性质 (a * b) mod k = ((a mod k) * (b mod k)) mod k 来避免中间结果过大。
递归的终止条件:
- 递归将持续进行，直到 p 降至 1 或 2，这时可以直接计算并返回结果。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long // 使用长整型以支持大数运算
using namespace std;// 定义一个函数 ans 来计算 b^p mod k
int ans(int b, int p, int k) {// 如果幂 p 等于 1，直接返回 b mod kif (p == 1) {return b % k;}// 如果幂 p 等于 2，返回 b^2 mod kif (p == 2) {return b * b % k;}// 如果幂 p 是偶数if (p % 2 == 0) {// 递归计算 b^(p/2) mod kint m = ans(b, p / 2, k);// 使用模运算的性质：(a * a) mod k = (a mod k * a mod k) mod kreturn m * m % k;} else {// 如果幂 p 是奇数// 先递归计算 b^(p/2) mod kint m = ans(b, p / 2, k);// 然后再乘以 b，并进行模运算return m * m % k * b % k;}
}signed main() {int b, p, k;cin >> b >> p >> k;printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", b, p, k, ans(b, p, k));
}

方法二：

快速幂

问题分析

快速幂算法:

使用快速幂算法来高效地分解幂运算。
快速幂算法通过二进制展开指数 p 来减少计算量。

二进制分解:

指数 p 被分解为二进制形式，算法通过迭代每个二进制位来累计结果。

迭代和模运算:

在每次迭代中，如果当前的指数位为 1，将相应的 b 的幂乘入结果。
b 每迭代一次，进行平方并取模，以保持结果在可管理的大小。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long // 使用长整型以支持大数运算
using namespace std;signed main() {int b, p, k;cin >> b >> p >> k; // 读取基数 b，指数 p 和模数 kint res = 1; // 初始化结果为 1int by = b, py = p; // 保存原始的 b 和 p 值，用于最后的输出// 快速幂算法while (p) {// 如果 p 的当前最低位是 1，则将当前的 b 乘入结果if (p & 1) res = res * b % k;p >>= 1; // 将 p 右移一位，等同于 p 除以 2b = b * b % k; // 将 b 平方后取模}// 输出结果printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", by, py, k, res);
}