如何用自助法或刀切法来估计偏差、方差？

自助法和刀切法（也叫水手刀法）为计算标准误差和置信区间的非参数方法。刀切法耗费较少计算机资源，但自助法有某些统计优势。

1. 刀切法

由Quenouille(1949)提出的刀切法是用来对估计的偏差和方差进行近似的一个简单方法。

符号说明：

$T_n=T(X_1,...,X_n)$ ：估计 $\theta$ 的一个统计量。
$bias(T_n)=\mathbb{E}(T_n)-\theta$ ：估计的偏差。
$T_{(-i)}$ ：去掉第 $i$ 个观测值之后的统计量。
$\overline T_n=n^{-1}\sum\limits_{i}T_{(-i)}$ ：计算所有 $T_{(-i)}$ 的均值。
$\widetilde{T_i}=nT_n-(n-1)T_{(-i)}$ ：伪值（pseudo-value）。
$\widetilde{s}^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^n(\widetilde{T_i}-\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\widetilde{T_i})^2}{n-1}$ ：伪值的样本方差。

定义：

刀切法的偏差估计： $b_{jack}=(n-1)(\overline T_n-T_n)$
刀切法的修正后统计量： $T_{jack}=T_n-b_{jack}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\widetilde{T_i}$
刀切法的方差估计： $v_{jack}=\frac{\widetilde{s}^2}{n}$

解释：

偏差：

对于很多统计量，能够表明，对于某些a和b，满足：

$bias(T_n)=\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+O(\frac{1}{n^3})$
$bias(T_{(jack)})=\frac{b}{n(n-1)}+O(\frac{1}{n^2})=O(\frac{1}{n^2})$

即 $T_{jack}$ 的偏差在阶数上小于 $T_n$ 的偏差。

方差

在关于 $T$ 的适当条件下（例如 $T$ 为样本均值的一个光滑函数），能够显示， $v_{jack}$ 为 $\mathbb{V}(T_n)$ 的相合估计。

2. 自助法

自助法（bootstrap）是估计一个统计量 $T_n=g(X_1,...,X_n)$ 的方差和分布的个方法。还能利用自助法来构造置信区间。

自助法方差估计：

(1) 抽样： $X_1^*,...,X_n^*\sim \widehat{F_n}$

(2) 计算： $T_n^*=g(X_1^*,...,X_n^*)$

(3) 重复步骤（1）和（2） $B$ 遍，得到： $T_{n,1}^*,...,T_{n,B}^*$

(4) 令 $v_{boot}=\frac{1}{B}\sum\limits_{b=1}^B\biggl(T_{n,b}^*-\frac{1}{B}\sum\limits_{r=1}^BT_{n,r}^* \biggl)^2$