Python - 深夜数据结构与算法之 DP - 进阶

目录

一.引言

二.经典算法实战

1.House-Robber [198]

2.House-Robber-2 [213]

3.Best-Sell-Time [121]

4.Best-Sell-Time-2 [122]

5.Best-Sell-Time-3 [123]

6.Best-Sell-Time-4 [188]

7.Best-Sell-Time-Coldown [309]

8. Best-Sell-Time-Fee [714]

三.总结

一.引言

前面我们介绍了一部分 DP 动态规划的题目，由于动态规划在算法中算是一大难点，所以我们接下来继续讲解动态规划的相关算法题目。

二.经典算法实战

1.House-Robber [198]

打家劫舍: https://leetcode.cn/problems/house-robber/description/

◆ 题目分析

0-不偷 1-偷

a[i][0] = max(a[i-1][0], a[i-1][1])

a[i][1] = a[i-1][0] + nums[i]

即对于每一个位置 i，其存在两种可能，偷和不偷。如果偷 i，则 a[i-1] 不能偷，所以就是 a[i-1][0]，如果不偷 i，则 a[i-1] 可以偷也可以不偷，所以是 max(a[i-1][0], a[i-1][1])。

◆ 动态规划 V1

class Solution(object):def rob(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""dp = []for i in range(len(nums)):dp.append([0, 0])# 初始化状态dp[0][0] = 0dp[0][1] = nums[0]# DP 转移for i in range(1, len(nums)):dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1])dp[i][1] = dp[i - 1][0] + nums[i]return max(dp[-1][0], dp[-1][1])

◆ 动态规划 V2

class Solution(object):def rob(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""if len(nums) == 0: return 0if len(nums) == 1: return nums[0]N = len(nums)dp = [0] * (N+1)dp[0] = nums[0]dp[1] = max(nums[0], nums[1])for i in range(2, N):# 对于第K个房子，要么 [k-1 房子偷，K不偷] 要么 [k-1 不偷，那就是 k-2 的值 + nums[k]]dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])return dp[N-1]

上面用两个状态 [0][1] 维护，下面我们优化一下使用一个状态维护，这里 a[i] 表示当前能偷到的最大值，注意此时 a[i] 可能被偷了也可能没被偷。

◆ 动态规划 V3

class Solution(object):def rob(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""# 上一个，当前值pre, now = 0, 0for i in nums:pre, now = now, max(pre + i, now)return now

观察上面的递推，我们使用了 o(n) 的复杂度，但其实 n 只取决于 n-1 和 n-2，所以我们可以优化为双指针。 这里运行时间受乐扣后台机器的情况而定，我们主要掌握解题的思路和代码的优化。

2.House-Robber-2 [213]

打家劫舍2: https://leetcode.cn/problems/house-robber-ii/description/ 

◆ 题目分析

与上题唯一不同是第一个房子和最后一个房子连在一起，变成环形了无法同时偷，所以可以转变思路，要么不偷第一个，则求 nums[1:] 的打家劫舍问题，要么不偷最后一个，偷 nums[: len(nums)-1] 的打家劫舍问题。

◆ 动态规划

class Solution(object):def rob(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""N = len(nums)if N == 0:return 0if N == 1:return nums[0]# 偷第一家 不偷最后一家dp = nums[:N-1]pre, now = 0, 0for i in dp:pre, now = now, max(pre + i, now)# 偷最后一家，不偷第一家pre2, now2 = 0, 0dp2 = nums[1:]for i in dp2:pre2, now2 = now2, max(pre2 + i, now2)return max(now, now2)

边界条件加上两次打家劫舍完成。

3.Best-Sell-Time [121]

股票买卖最佳时机: https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/description/ 

◆ 题目分析

记录过去的最小值，然后记录 dp 状态，dp[i] = max(dp[i] - pre_min, 0)，即当前卖出能获得的最大值，如果卖了亏钱那就是 0，这里需要维护 dp 数组与 min。

◆ 动态规划 V1

class Solution(object):def maxProfit(self, prices):""":type prices: List[int]:rtype: int"""# dp[i] = max(dp[i] - pre_min, 0)cur_min = prices[0]dp = [0] * len(prices)for i in range(1, len(prices)):dp[i] = max(prices[i] - cur_min, dp[i-1])cur_min = min(cur_min, prices[i])return dp[-1]

◆ 动态规划 V2

class Solution(object):def maxProfit(self, prices):""":type prices: List[int]:rtype: int"""# dp[i] = max(dp[i] - pre_min, 0)cur_min = prices[0]res = 0for i in prices[1:]:res = max(i - cur_min, res)cur_min = min(cur_min, i)return res

上面 dp 浪费了 o(n) 的数组，其实我们只需要知道当前的最大和最小值，构造两个指针即可，比刚才好一些了。

4.Best-Sell-Time-2 [122]

股票买卖最佳时机2: https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii

◆ 题目分析

这个题目相当于上帝视角买卖股票，所以有一个贪心的策略就是只要第二天比第一天高，我们就进行一次交易获利。当然也可以使用动态规划，规划的转移方程可以描述为:

dp[i] = max(dp[i] - dp[i-1], 0) + dp[i-1]

即这次可以获得的金额是上次的加上今天买卖的值，今天买卖不了就 0。

◆ 贪心算法

class Solution(object):def maxProfit(self, prices):""":type prices: List[int]:rtype: int"""reward = 0for i in range(1, len(prices)):reward += max(prices[i] - prices[i-1], 0)return reward

◆ 动态规划 - V1

class Solution(object):def maxProfit(self, prices):""":type prices: List[int]:rtype: int"""N = len(prices)dp = [0] * N# 当前位置的收益等于上一次的收益和本次的正收益for i in range(1, N):dp[i] = max(prices[i] - prices[i-1], 0) + dp[i-1]return dp[-1]

◆ 动态规划 - V2

class Solution(object):def maxProfit(self, prices):""":type prices: List[int]:rtype: int"""# 双指针pre = 0now = 0for i in range(1, len(prices)):now = max(prices[i] - prices[i-1], 0) + prepre = nowreturn now

DP 转移方程只用到上一次的状态，所以使用双指针即可。 

5.Best-Sell-Time-3 [123]

股票最佳买卖时间 3: https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii

◆ 题目分析

前面的题目只有买与卖即两个状态，这里增加了第二次买第二次卖，所以需要增加第二次买卖。

0-无操作

1-第一次持有

2-第一次卖出

3-第二次持有

4-第二次卖出

dp[i][j] 中 i 表示第 i 天，j 为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j] 表示第 i 天状态 j 所剩最大现金。 

◆ 动态规划 - V1

    def maxProfit(self, prices):"""0-无操作1-第一次持有2-第一次卖出3-第二次持有4-第二次卖出dp[i][j]中 i 表示第 i 天，j 为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j] 表示第 i 天状态 j 所剩最大现金。"""if len(prices) == 0:return 0# 初始化 DP 空间dp = [[0] * 5 for _ in range(len(prices))]# 第一次持有需要花 -p 的钱dp[0][1] = -prices[0]# 第二次持有因为是买了卖再买，所以还是 -pdp[0][3] = -prices[0]for i in range(1, len(prices)):# 无操作dp[i][0] = dp[i - 1][0]# 第一天买入股票，要么是之前的股票还在即 dp[i-1][1] 要么是 i-1 没买，现在买即 dp[i-1][0] - pdp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])# 第一天卖出股票，要么是之前已经买了即 dp[i-1][2] 要么是 i-1 买了，i 卖了，所以 dp[i-1][1] + pdp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i])# 第二天买入同理dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])# 第二天卖出同理dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])return dp[-1][4]

对于买卖而言，都有两种状态，一种是维护现状，一种是买卖，这里逻辑比较混乱，还得多理理。

◆ 动态规划 - V2 

class Solution(object):def maxProfit(self, prices):# 买入的低价buy_1, buy_2 = 2147483647, 2147483647# 收益的高点pro_1, pro_2 = 0, 0for p in prices:buy_1 = min(buy_1, p)pro_1 = max(pro_1, p - buy_1)buy_2 = min(buy_2, p - pro_1)pro_2 = max(pro_2, p - buy_2)return pro_2

有点像条件概率的感觉，第二次买卖是在第一次买卖发生的情况下计算的。由于第一次买卖会赚一些钱 pro1，那第二次买的时候就花费的钱就是当前价格减去咱们第一次赚的钱，price2 - pro1， 这样一来，第二次买卖的结果就代表了前两次买卖的总利润，我们求总利润的最大值就可以了。 这个思路真的牛，清晰明了，和大神还是有差距，努力学习 ing ...

6.Best-Sell-Time-4 [188]

股票买卖4: https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/

◆ 题目分析

这里和 123 题的区别是卖 2 次和卖 n 次，通过 for 循环实现多次买卖。

◆ 动态规划  

class Solution(object):def maxProfit(self, k, prices):""":type k: int:type prices: List[int]:rtype: int"""k = min(k, len(prices) // 2)buy = [-float("inf")] * (k+1)sell = [0] * (k+1)for p in prices:for i in range(1, k+1):buy[i] = max(buy[i], sell[i-1] - p)sell[i] = max(sell[i], buy[i] + p)return sell[-1]

7.Best-Sell-Time-Coldown [309]

股票买卖时机-冷冻: https://leetcode-cn.com/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/ 

◆ 题目分析

官方题解写的比较清晰，这里做一次大自然的搬运工。

◆ 动态规划

class Solution(object):def maxProfit(self, prices):"""0 - 目前有一只股票对应的最大收益1 - 目前没有股票，处于冷冻期的最大收益2 - 目前没有股票，不处于冷冻期"""N = len(prices)dp = [[0] * 3 for _ in range(N)]dp[0][0] = -prices[0]dp[0][1], dp[0][2] = 0, 0for i in range(1, N):# 第 i 天有一只股票: A.还拿着上一天的股票 dp[i-1][0] B.昨天没股票且能买 dp[i-1][2] - pricedp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][2] - prices[i])# 第 i 天处于冷冻期 A.i-1天卖股票了 说明 i-1 天手里必须有股票 -> dp[i-1][0] + pricedp[i][1] = dp[i-1][0] + prices[i]# 第 i 天没股票且非冷冻期 A.昨天也没股票也非冷冻 dp[i-1][2] B.昨天没股票冷冻 dp[i-1][1]dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1])return max(dp[-1])

最后比较时，如果手上还拿着股票即 dp[i][0] 其实是亏得，因为我们没卖钱还花了买股票的钱，所以我们可以只比较 [1]、[2] 的情况即可。 

8. Best-Sell-Time-Fee [714]

股票买卖-手续费: https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-fee/

◆ 题目分析

可以继续套用 [188] 题的思路，只不过每次卖出时增加 fee。

◆ 动态规划

class Solution:def maxProfit(self, prices, fee):buy, sell = -float("inf"), 0for p in prices:buy = max(buy, sell - p - fee)sell = max(sell, buy + p)return sell

三.总结

这一节我们把经典的买卖股票的问题遍历了一遍，主要思路分为两种，一种是遍历所有状态的 dp，例如可以买卖 2 次，则状态有 0123，以此类推。还有固定指针数量，每次直观增减的优化内存方法，这里题目思路很多，博主在 leetcode 上找了两种思路的整理版，上面的题目我们可以感受一下大致的思路，完整的详解可以到下面的讲解学习。

DP 转移: DP 状态转移股票算法全解

指针循环: 指针循环股票算法全解

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